Side 1 af 1

Stykvisdefineret funktion

: 15 jun 2020, 16:39
af Lugano21
Hej,

Jeg sidder med en stykvis-defineret funktion f(x). Jeg er i tvivl om hvordan jeg fortolker/forstår resultatet.

Det første jeg har gjort er at sætte den øverste og den midsterste forskrift lig med hinanden.

32-10x = kx^2 - 8kx +15k + 2. Her har jeg indsat 3 for x, det giver

k = -0,1875

Derefter gjort det samme med midterste og nederste forskrift:

kx^2 - 8kx + 15k + 2 = 27 - x^2. Her har jeg indsat 5 for x, det giver:

k = 1

Jeg skal nu sige for hvilke værdier af k, at den stykvis definerede funktion f(x) er kontinuert.

Er min fremgangsmåde rigtig? Og hvordan finder jeg udaf hvad k skal være for den kontinuert. Når jeg rykker på skyderen i GG, så er funktionen vel kontinuert i hele intervallet? (da der ikke er nogle huller i grafen).

Re: Stykvisdefineret funktion

: 15 jun 2020, 17:39
af JensSkakN
Ud fra det du skriver, ville svaret være, at funktionen ikke er kontinuert for noget k.
Men i den først ligning regner du galt. Den er opfyldt for ethvert k og ikke kun for k=-0.1875.

Det rigtige svar er derfor, at funktionen er kontinuert for k=1.

Re: Stykvisdefineret funktion

: 15 jun 2020, 18:45
af ringstedLC
Metoden er egentlig OK, men beregningen forkert. Det afslører din GG kontrol også; når "k"
kan indstilles til enhver værdi uden at sammenhængen brydes, bør du lave en ny beregning.

\(32-10x=kx^2-8kx+15k+2\wedge kx^2-8kx+15k+2=27-x^2 \\
\qquad \qquad \qquad \qquad
f_1(3)=f_2(3)\wedge f_2(5)=f_3(5) \\
\qquad
2=k\cdot 3^2-8k\cdot 3+15k+2\wedge k\cdot 5^2-8k\cdot 5+15k+2=27-5^2 \\
\qquad \qquad \quad \;\;
0=9k-24k+15k\wedge 25k-40k+15k=0 \\
\qquad \qquad \qquad
0=k(9-24+15)\wedge k(25-40+15)=0 \\
\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \;
k\in \mathbb{R}\)

Re: Stykvisdefineret funktion

: 15 jun 2020, 19:26
af Lugano21
JensSkakN skrev:Ud fra det du skriver, ville svaret være, at funktionen ikke er kontinuert for noget k.
Men i den først ligning regner du galt. Den er opfyldt for ethvert k og ikke kun for k=-0.1875.

Det rigtige svar er derfor, at funktionen er kontinuert for k=1.
Ah ja.

Nu får jeg:

32-10x = kx^2 - 8kx + 15 k + 2

32-30 = 9k - 24k + 15k + 2

2 = 2

Så forsvinder k bare?

Jeg forstår ikke rigtig hvad resultatet betyder.

Re: Stykvisdefineret funktion

: 15 jun 2020, 20:32
af ringstedLC
Funktionen er sammenhængende uanset hvad k er.
Hvilket også ses af, at skyderen kan indstilles tilfældigt.
Parabeldelen forandres ganskevist, men endepunkterne er de samme.

Re: Stykvisdefineret funktion

: 15 jun 2020, 22:05
af Lugano21
Ok, det giver mening. Så i dette tilfælde, repræsenterer k faktisk bare a og b konstanterne i et andengradspolynomium? Så k siger engnetlig ikke noget om hvorvidt funktionen er sammenhængende, det ses ved endepunkterne.