Velkommen til Matematikcenter online forum
Opret dig som bruger og få gratis adgang til Danmarks eneste gratis matematikhjælp for alle.
Har du allerede en bruger? Log ind her.

Kombinatorik

dondomingo
Indlæg: 12
Tilmeldt: 23 sep 2019, 14:59

Kombinatorik

Indlægaf dondomingo » 15 apr 2020, 11:01

Min gruppe og jeg sidder med opgaver der lyder:

En skole har tre klasser me 27, 23 og 18 elever, hvor der skal vælges et elevråd på 5 personer.

Man kan sammensætte elevrådet på \(K(68,5) = 10424128\) forskellige kombinationer

Hvor mange forskellige elevråd kan der sammensættes, hvis det er et krav, at hver klasse er repræsenteret af mindst én elev?

Vi fandt frem til en løsning, vi ikke kunne få til at passe, men vi fik at vide er korrekt. Løsningen lyder:
\(27*23*18*K(65,2) = 23250240\)

Vores spørgsmål lyder, hvordan kan der logisk set være flere kombinationer altså \(23250240>10424128\), når man sætter begrænsningen på, at mindst én elev skal være i hver klasse? Vi mister jo bl.a. muligheden at kombinere et elevråd, hvor alle eleverne kommer fra samme klasse osv.

På forhånd tak
JensSkakN
Indlæg: 551
Tilmeldt: 17 mar 2020, 12:33

Re: Kombinatorik

Indlægaf JensSkakN » 15 apr 2020, 14:26

Det var et ualmindelig godt spørgsmål.
Svaret er, at I har ret. Det kan ikke passe.
Beregningen med først at vælge 1 fra hver klasse og derefter de 2 sidste, er forkert. Så den, der har fortalt jer, at den er korrekt, tager fejl.
Sandsynlighedsregning/kombinatorik er svært.
Jeg vil i første omgang overlade til jer selv først at finde en anden og bedre måde at finde det rigtige svar på og derefter finde ud af, hvilken fejl i begik i jeres beregning.
Men vend tilbage, hvis I skal bruge nogle hints.
dondomingo
Indlæg: 12
Tilmeldt: 23 sep 2019, 14:59

Re: Kombinatorik

Indlægaf dondomingo » 15 apr 2020, 16:31

Hej Jens

Tak for svar.
Jeg talte med to matematiklærer, der begge sagde det var korrekt, at der kom flere muligheder med kravet om mindst én elev per klasse. Jeg synes stadig, at det virker en anelse ulogisk, så jeg vil gerne høre din forklaring:)

Vores andet bud var, at trække én elev fra hver klasse, da denne person vil være sin klasses repæsentant som minimum, så vi får klasser på henholdsvis 26, 22 og 17 elever (=65 elever). Derefter trak vi 3 fra vores mulige 5 mulige elevrådsrepræsentanter, da de tre allerede var fordelt ud på hver deres klasse og vi vil stå tilbage med kombinationsformlen, der lyder \(K(65,2)=2080\) antal mulige kombinationer. Dette er betydeligt lavere end havde der ikke været nogen betingelse, hvilket vi synes er mere holdbart.
JensSkakN
Indlæg: 551
Tilmeldt: 17 mar 2020, 12:33

Re: Kombinatorik

Indlægaf JensSkakN » 15 apr 2020, 17:35

hmmm, det lyder ikke godt.
Du har naturligvis ret og de to matematiklærere tager fejl og tænker desuden ikke særlig logisk.
Nu får du hele min redegørelse.
Den nemmeste måde at beregne det korrekte antal måder at vælge elevrådet på, er at beregne alle de måder, der nu er blevet forbudt.
Dette er K(27,5)+(23+18)*K(27,4)+ det samme for de to andre klasser.
Altså hvor mange måder kan man vælge 5 fra samme klasse eller 4 fra samme klasse og 1 fra de resterende elever.

Resultatet af antallet af forbudte måder er 1669372.
Derfor kan man med den begrænsning vælge elevrådet på 8754756 måder.

Så kommer vi til det interessante. Hvori bestod fejlen?
Fejlen er, at situationen hvor du vælger elev a3 fra den ene klasse, b10 fra den anden og c4 fra den tredje og derefter a8 og c18 som de supplerende, tælles med flere gange. Det kunne jo også være at a8 blev valgt første gang som repræsentant for a-klassen og a3 senere blev valgt som en af de sidste. Derfor var beregningen forkert.
dondomingo
Indlæg: 12
Tilmeldt: 23 sep 2019, 14:59

Re: Kombinatorik

Indlægaf dondomingo » 15 apr 2020, 18:09

Ved at kombinere på måden du skriver, får jeg et lidt mindre antal kombinationer, som jeg har vedhæftet, men tak for svar. Når du skriver a3, a8, b10 mm. referer du så til forskellige elever til de forskellige klasser, hvor a er klassen med 27, b er klassen med 23 osv?
Vedhæftede filer
Skærmbillede 2020-04-15 kl. 18.06.21.png
Skærmbillede 2020-04-15 kl. 18.06.21.png (28.04 KiB) Vist 1946 gange
JensSkakN
Indlæg: 551
Tilmeldt: 17 mar 2020, 12:33

Re: Kombinatorik

Indlægaf JensSkakN » 15 apr 2020, 18:58

Ja, du har fuldstændig ret, jeg havde tastet et tal galt ind K(18,5) i stedet for K(18,4)
Din forståelse af elevbetegnelsen er også korrekt.
dondomingo
Indlæg: 12
Tilmeldt: 23 sep 2019, 14:59

Re: Kombinatorik

Indlægaf dondomingo » 16 apr 2020, 14:02

Har lige tilføjet flere kombinationer, da vi manglede at tælle klasser med, hvor der var f.eks. 3 i den første, 2 i den næste og 0 i den sidste. Det korrekte svar vil således være:
Vedhæftede filer
Skærmbillede 2020-04-16 kl. 14.01.30.png
Skærmbillede 2020-04-16 kl. 14.01.30.png (129.39 KiB) Vist 1927 gange
JensSkakN
Indlæg: 551
Tilmeldt: 17 mar 2020, 12:33

Re: Kombinatorik

Indlægaf JensSkakN » 16 apr 2020, 16:34

Av, den var pinlig (for mig).
Jeg har ikke regnet efter, men jeg tror, at du har ret.
JensSkakN
Indlæg: 551
Tilmeldt: 17 mar 2020, 12:33

Re: Kombinatorik

Indlægaf JensSkakN » 17 apr 2020, 13:24

Jeg har nu lavet en kontrolregning ved at regne direkte på de tilladte muligheder og jeg får samme resultat som dig.
Vedhæftede filer
Elevråd.png
Elevråd.png (3.12 KiB) Vist 1912 gange

Tilbage til "Matematik B"

Hvem er online

Brugere der læser dette forum: Ingen og 12 gæster