Velkommen til Matematikcenter online forum
Opret dig som bruger og få gratis adgang til Danmarks eneste gratis matematikhjælp for alle.
Har du allerede en bruger? Log ind her.

Bevis: Differentialkvotienten for andengradspolynomiet

DryWind4
Indlæg: 215
Tilmeldt: 16 jan 2021, 17:38

Bevis: Differentialkvotienten for andengradspolynomiet

Indlægaf DryWind4 » 17 maj 2021, 11:13

Billede

Jeg skal lave en lille video hvor jeg ræsonnerer hvad der foregår i det her bevis. Igen jeg erkender blankt matematik ikke er min stærke side, og differentialregning er nok igen en af de ting jeg har øvet mindst. Alternativet var analytisk geometri, og det følte jeg så endnu mindre for. Så nu må jeg se om jeg kan få det her til at give mening.

Jeg har prøvet at søge lidt rundt angående det her bevis, men har ikke rigtigt fundet specielt mange ressourcer, så tænkte det kunne være positivt at dele det her og få noget feedback, da det sikkert er nemt for jer kunne jeg forestille mig.

Billede

1. Jeg kan se andengradspolynomiumet bliver sat ind på f(x0+h)s plads, men jeg forstår ikke helt hvordan det bliver sat ind på den måde det gør det på?

Delta y er ligmed funktionen af x0 + h minus funktionen af x0.

Hvis jeg skal benytte den første regel i tretrinsreglen hvorfor ser det så sådan der ud? Hvorfor bliver det til a(x0+h)^2+b(x0+h), altså jeg kan godt se at vi indsætter x0+h på 'x's plads, men hvorfor gør vi det på den måde der? Delt op i flere x'er pga. andengradspolynomiet. Igen kan godt være jeg bare er uerfaren, og det er helt standard og normalt, men jeg har bare ikke erfaringen til at se det.

Det virker bare ikke intuitivt for mig at presse et helt andengradspolynomium ind på den måde der. Når jeg kigger på det kan jeg godt se en hvis logik og rytme, men jeg har bare lidt et missing link angående hvordan man kommer frem til at det skal presses ind på den måde der.

Billede

Så er vi så kommet til noget sammenlægning her. Der ser lidt rodet ud umiddelbart.

Det ligner at de ganger b ind med x0 og b ind med h for at opløse parentesen, også opløser de også den sidste parentes ved at ændre fortegnene da det er en minusparentes. Så skal jeg bare finde ud af hvad der sker i den første parentes. Der har de så lavet kvadratsætningen hvor (a+b)^2 bliver til a^2 + b^2 +2ab. Men 'a' bliver stadigt stående uden foran parentesen af en eller anden grund, selvom b'et i nummer 2 parentesen blev ganget ind i. Forvirrer mig lidt.

Billede

Så er det hele regnet ud, så skal det bare forkortes.

c går ud med hinanden, bx0 går ud med hinanden. bh bliver stående. Så er jeg ikke lige helt sikker på hvad der sker med det der -ax0^2, og den første parentes der... Synes virkeligt det er svært at følge med hvordan de lige rykker rundt på tingene der.

a(x0^2+h^2+2x0h)+bh-ax+^2

Jeg har prøvet at bruge wordmat for at skabe et overblik for ikke at blive skeløjet.

Billede

Så først der ganger de 'a' ind i parentesen? Også går ax0^2 ud med hinanden, også har vi forkortet det ligesom i beviset.

Billede

Nå hvad sker der så her... De vælger at faktorerer det så h står uden for parentes... okay.

Billede

Så går vi så videre til trin 2. Hvor delta y skal divideres med h. Vi har fra trin 1 regnet ud hvad vores delta y er, så det putter vi egentligt bare ind i formlen og dividerer med h. Så går h ud med hinanden på begge sider af lighedstegnet, så stemmer det.

Billede

Igen kommer der sådan en lidt kryptisk formulering når man ikke er trænet i det. Hvordan ved jeg at ah går mod 0, og hvad betyder det for "h gående mod 0".

Billede

Okay så et led går mod 0 af en grund fordi det har 'h' i sig, og det har de andre ikke så de ændrer sig ikke. Hvad betyder det at "grænseværdien" eksisterer?

Billede

Ved ikke hvad lim betyder, men de viser at h går mod 0, også får vi lige delta y delt med h, som var vores trin 2 som er vores differenskvotient, også kaldet sekanthældningen.

Billede

Igen er ikke sikker på hvorfor der bare bliver konkluderet at noget er differentiabelt i x0 og noget andet ikke er.

Billede

Så skal jeg så prøve at tyde det der...

Så trin 3 handler om at finde grænseværdien, også kaldt differentialkvotienten.. det gøres ved at lade h gå mod 0. Ja...

Så f mærke af x0 er ligmed at lade h gå mod 0, som så er lig med det vi kom frem til som var (2ax0+b+ah), men vi fjerner så ah fordi det indebærer h og går mod 0 og det gør de andre ikke også er det endelige resultat og bevis at det ender på 2ax0+b, hvilket er det samme som sætningen beskriver at et andengradspolynomium bliver differenteret med?
number42
Indlæg: 1370
Tilmeldt: 10 mar 2017, 12:11

Re: Bevis: Differentialkvotienten for andengradspolynomiet

Indlægaf number42 » 17 maj 2021, 18:05

Du presser ikke noget ind i andengradspolynomiet. Du Indsætter ( xo+h) i andengrads polynomier.

Du sætter fx også xo ind i andengradspolynomiet og (xo+h) er jo bare en x værdi i funktionen f(x),
JensSkakN
Indlæg: 842
Tilmeldt: 17 mar 2020, 12:33

Re: Bevis: Differentialkvotienten for andengradspolynomiet

Indlægaf JensSkakN » 18 maj 2021, 01:03

Det er svært at hjælpe dig af flere grunde.
Du er fast besluttet på, at 'matematik ikke er din stærke side'. Det spærrer i den grad for din forståelse.
Du vælger i selvforsvar en meget sarkastisk tone, hvor man ikke rigtig ved, om du faktisk mener det. Du er ikke god til at fokusere på lige netop det, som faktisk er dit problem, så vi kunne hjælpe dig med det.
Selvom 'matematik ikke er din stærke side', har du også nogle sproglige problemer. Her i denne tekst har jeg især bidt mærke i forvekslingen af 'hvis' og 'vis' og især på 'også' og 'og så'. Men det kan jeg naturligvis se bort fra, for jeg forstår jo stort set, hvad du mener.
Nu vil jeg forsøge at hjælpe dig på nogle få konkrete punkter.
'Du har prøvet at søge lidt rundt angående det her bevis'. Det er slet ikke meningen. Du skal bare læse det, der står, og så forstå det.

'men jeg forstår ikke helt hvordan det bliver sat ind på den måde det gør det på.' Denne delsætning giver nærmest ingen mening. Hvad er det du ikke forstår? Hvordan det bliver sat ind?? Du skal bare forstå, at det der står i beviset er korrekt. Du skal ikke undervejs tænke: hvorfor gør de nu det? Kun tænke: Kan jeg indse, at dette er rigtigt?. Når mine elever ganske ofte spurgte: hvorfor gør han nu sådan? plejede jeg at svare: Det er fordi, han var genial. Det behøver vi ikke at spekulere på. Vi skal bare sikre os, at det er helt klart korrekt. Hvis det ender med, at det fører frem til det, vi ville bevise, så skal vi bare være tilfredse.

Vi har to x-værdier, som vi her vælger at kalde \(x_0\) og \(x_0+h\). Vi har den opgave at finde den tilsvarende \(\Delta y\). Spørg IKKE hvorfor, vi har bare den opgave, og hvis det viser sig, at vi ender med at indse at andengradsfunktionen er differentiabel og hvad differentialkvotienten er, så er vi tilfredse.
Andengradsfunktionen er en slags maskine. Til ethvert \(x\) knyttes et \(y\), som kan beregnes således (\(y\) kaldes også \(f(x)\,\,\))
\(y=a\cdot{x^2}+b\cdot x+c\)

Dette er noget abstrakt, fordi man gerne vil behandle mange problemer på én gang. Men hvis vi nu fx ved, at \(a=2\) og \(b=-1\) og \(c=4\), så indser vi at \(x=3\) føres over i \(y=19\) fordi
\(2\cdot{3^2}-1\cdot 3+4=19\)
Hvis det er \(x_0\), der er lig 3, bliver \(f(x_0)=19\)
Hvis nu vi desuden har, at \(h=0.4\), så bliver \((x_0+h)=3.4\)
Vi kan også beregne \(f(x_0+h)\), men det kræver en lommeregner. Man får \(f(x_0+h)=23.72\)
Altså, i netop den situation, hvor \(a=2, b=-1, c=4, x_0=3, h=0.4\) bliver \(\Delta y=4.72\)

Men det ville være rart at kunne behandle alle situationer med andre værdier af \(a, b, c, x_0, h\) på en gang.
Ellers bliver dit bevis uendelig langt. Derfor beregner vi først
\(f(x_0)=a\cdot{x_0^2}+b\cdot {x_0}+c\)
Bemærk, at det var ret nemt. Jeg har bare skrevet \(x_0\) der, hvor der før stod \(x\).

Så kommer det lidt sværere, nemlig at beregne \(y\) for \((x_0+h)\). Husk, at det der står i parentesen, bare er et tal. I mit eksempel fra før var det 3.4
\(f(x_0+h)=a\cdot{(x_0+h)^2}+b\cdot(x_0+h)+c\)
For at komme videre, er vi nødt til at dele denne udregning op i flere dele.
Du kender første kvadratsætning, nemlig at \((a+b)^2=a^2+b^2+2ab\), men du lader dig vist forvirre af, at der også optræder et \(a\) og et \(b\) her, der betyder noget helt andet. Du skal bare tænke, at første kvadratsætning her betyder, at
\((x_0+h)^2=x_0^2+h^2+2x_0\cdot h\)
Derfor må \(a\cdot{(x_0+h)}^2=a\cdot{x_0^2}+a\cdot{h^2}+{2a}\cdot{{x_0}\cdot h}\)
Nu er vi nået så langt, at vi kan skrive \(f(x_0+h)\) helt ud
\(f(x_0+h)=a\cdot{x_0^2}+a\cdot{h^2}+{2a}\cdot{{x_0}\cdot h}+b\cdot {x_0}+b\cdot h+c\)
Sammen med \(f(x_0)=a\cdot{x_0^2}+b\cdot {x_0}+c\,\,\,\,\) får vi
\(\Delta y= a\cdot{h^2}+{2a}\cdot{{x_0}\cdot h}+b\cdot h\)

Bemærk evt. at med eksemplets valg af konstanter, \(x\) og \(h\), så giver denne formel faktisk \(\Delta y=4.72\)
Dette udtryk indeholder 3 led, idet der står + imellem dem. Vi opdager at i alle 3 led indgår et \(h\) og vi udnytter dette ved at sætte dette tegn uden for en parentes.
\(\Delta y=h\cdot {(a\cdot h+2a\cdot{x_0}+b)}\)

Jeg vil skrive mere i andre indlæg. Hvis du nu læser dette og der noget, du ikke forstår, så skriv præcist, hvad det er, du finder uklart. Selv om der er mange ting, du ikke forstår, så begræns dig til højst to. Så forklarer jeg dem endnu tydeligere og så går vi videre derfra.
Senest rettet af JensSkakN 18 maj 2021, 02:23, rettet i alt 4 gange.
DryWind4
Indlæg: 215
Tilmeldt: 16 jan 2021, 17:38

Re: Bevis: Differentialkvotienten for andengradspolynomiet

Indlægaf DryWind4 » 18 maj 2021, 01:36

Jeg er ikke rigtigt fast besluttet på at matematik ikke er min svage side. Det er sådan set bare et faktum. Ligesom at jeg er højrehåndet og at det dermed er lettere at bruge højre hånd er et faktum.

Jeg skrev hvad jeg skulle/ville, og hvorfor det var udfordrende for mig.

Intet af det jeg skriver er sarkastisk, så der må være sket en misforståelse.

"Du er ikke god til at fokusere på lige netop det, som faktisk er dit problem, så vi kunne hjælpe dig med det."

Hvad er det som er mit problem? Jeg havde en udfordring som var dette bevis, også tog jeg det step by step, så man kunne følge min tankegang og reaktion undervejs.

"Selvom 'matematik ikke er din stærke side', har du også nogle sproglige problemer. Her i denne tekst har jeg især bidt mærke i forvekslingen af 'hvis' og 'vis' og især på 'også' og 'og så'. Men det kan jeg naturligvis se bort fra, for jeg forstår jo stort set, hvad du mener."

Ligesom de fleste andre mennesker har jeg sikkert nogle sproglige ting hist og her. Dog sidder jeg heller ikke lige og retter den grammatik jeg skriver herinde som var jeg til diktat i dansk. Det ville i min optik være et underligt fokus kontra målet med at lave en post herinde. Men hvis det var en kommentar eller et forsøg på et argument angående at jeg var ligeså udfordret sprogligt, som jeg er matematisk, så er det nu ikke tilfældet.

Jeg er måske heller ikke decideret dårlig til matematik. Det er bare ikke et fag der har min største interesse, og når det ikke er ens største interesse så er det jo naturligt mere udfordrende at få sig selv til at øve det og bruge tid på det, da det føles mere op ad bakke. End hvis det var et fag der stimulerede en mere naturligt.

Mange fag i gymnasiet er jo krav at man skal bestå for at komme videre til andre uddannelser, selvom det er ens favoritfag eller ej. Så er der måske nogle der har lettere og større glæde ved de humanistiske fag, og andre med de tekniske og en blanding.

"'Du har prøvet at søge lidt rundt angående det her bevis'. Det er slet ikke meningen. Du skal bare læse det, der står, og så forstå det."

Det er da også fremragende hvis man bare kunne det. Det kunne jeg ikke. Så er alternativet jo at søge hjælp, eller få andre til at forklare hvad der foregår, så man så kan forstå det bedre. Det fandt jeg så en video med f.eks, der hjalp ret meget.

"Hvad er det du ikke forstår?"

Som jeg forsøgte at skrive så forstod jeg ikke helt systematikken i at f(x0+h) blev til a(x0+h)^2... osv. Som sagt jeg kan se man putter funktionen af x ind på x's plads i andengradspolynomiet. Men jeg forstod ikke helt hvor 'f' blev af, og hvorfor man gjorde det hen ad hele rækken med f.eks også b(x0+h) osv. Men igen, kan jo bare være det er helt normalt i differentialregning og jeg bare mangler erfaringen til at se det. Så er det jo så derfor jeg stiller de måske for jer 'indlysende' og 'dumme' spørgsmål for eventuelt at kunne forstå det. Jeg er godt klar over at hvis man ved det, og det er let, og jeg udefra ikke forstår noget der kan virke indlysende at det kan virke forvirrende.

Igen siger jeg tak for dine grundige og uddybende svar. Det er meget værdsat og har hjulpet meget gennem mit forløb.
JensSkakN
Indlæg: 842
Tilmeldt: 17 mar 2020, 12:33

Re: Bevis: Differentialkvotienten for andengradspolynomiet

Indlægaf JensSkakN » 18 maj 2021, 01:52

Jeg kom til at trykke på 'udfør' lidt for tidligt.
Prøv at læse mit fulde svar og se om det ikke hjælper.
Du har helt ret i, at du ikke er så dårlig til matematik som så mange andre.
Om du var (ubevidst) sarkastisk eller ej, er vist ikke værd at spilde mere tid på.
JensSkakN
Indlæg: 842
Tilmeldt: 17 mar 2020, 12:33

Re: Bevis: Differentialkvotienten for andengradspolynomiet

Indlægaf JensSkakN » 18 maj 2021, 02:12

\(\)Jeg vil kommentere yderligere én detalje
Igen kommer der sådan en lidt kryptisk formulering når man ikke er trænet i det. Hvordan ved jeg at ah går mod 0, og hvad betyder det for "h gående mod 0".
Tænk på \(a\) som et fast tal. Du må gerne tænke på mit eksempel med \(a=2\).
\(h\) derimod er en størrelse, der kan ændres. I mit eksempel var den \(h=0.4\) men bagefter kan vi jo forestille os, at vi vælger \(h=0.2\) og så måske \(h=0.01\) og så \(h=0.0003\) osv. Vi vælger altså mindre og mindre værdier af \(h\). Det er det, der menes med 'for \(h\) gående mod 0'. Så vil man opdage, at \(a\cdot h\) eller \(2h\) også kommer tættere og tættere på 0. Dette kan formuleres meget præcist, men det er man gået væk fra i de danske ungdomsuddannelser, fordi for mange fandt disse formuleringer meget kryptiske.
Men når \(a\cdot h\) også kommer tættere og tættere på et eller andet tal, (her 0), så siger man, at dette udtryk har en grænseværdi for \(h\) gående mod 0.
At en funktion er differentiabel, betyder at \(\frac {\Delta y} h\) har en grænseværdi for \(h\) gående mod 0.

Nu kunne du måske mene, at sådan må det jo altid være, men det er ikke rigtigt. Hvis udtrykket fx er \(\sin(\frac 1 h)\), vil dette udtryk ikke have nogen grænseværdi for \(h\) gående mod 0.

Jeg vender meget gerne tilbage i morgen og kommenterer flere detaljer, især hvis du har nogle ønsker.
number42
Indlæg: 1370
Tilmeldt: 10 mar 2017, 12:11

Re: Bevis: Differentialkvotienten for andengradspolynomiet

Indlægaf number42 » 18 maj 2021, 07:43

Utrolig interessant diskussion.
JensSkakN prøvede men det er klart at du, Drywind, befinder dig i et andet univers end vi gør. Der er jo nok ikke noget i vejen med din hjerne, men du har simpelt hen slet ikke fat i hvordan man skal forstå matematik. Det finder jeg uhyre interessant , for hvad er det vi ( Jens, jeg håber det "vi" er ok) kan gøre ved det? Det synes at være den hemmelige nøgle til dit univers og mange andres vi mangler. Hvad skal man sige og skrive for at komme over barrieren?

Det jeg af og til prøver er at forklare at matematik er ligesom et brætspil ( skak for eksempel) , det er bare nogle regler ( hvordan man flytter brikkerne) og så er der ikke mere. Glem alt om logik eller intuition. Når du spiller skak så tænker du også i strategier men det er noget du lærer hen ad vejen, hvis du ved hvordan man flytter brikkerne så kan du spille. Det er dig som flytter brikkerne de flytter ikke sig selv.
I dit spørgsmål synes du at tro at h flytter sig selv, nej det er dig der skal flytte værdien af h for at komme frem til resultatet, det med at differentiere er en proces som beskrives , du er ikke tilskuer til den proces det er den proces du skal udføre for at differentiere. Det er ikke nødvendigt at tænke det er bare en slags skaktræk du skal lære. Altså analogi med skakspil flytter den "brik" og så den anden og så den tredje og så har du differentieret.
Jeg gentager, du skal ikke tænke , du skal lære en serie af manøvre og når du har lært det så kan du.

Hvis du så absolut vil vide hvorfor du netop skal udføre den proces, så må du vente lidt og tænk på at i 1600 tallet kæmpede alverdens mest fremtrædende matematikere for at finde ud af det. Til sidst var der en som fandt ud af det og lidt senere en til.
JensSkakN
Indlæg: 842
Tilmeldt: 17 mar 2020, 12:33

Re: Bevis: Differentialkvotienten for andengradspolynomiet

Indlægaf JensSkakN » 18 maj 2021, 14:00

Til Number42
Jeg bliver ikke fornærmet over dit 'vi'. Jeg tror, at vi stort set er enige.
Til Drywind
Jeg sætter dog et lille spørgsmålstegn ved Number42's påstand om den fundamentale forskel på din og vores hjerner. I al beskedenhed vil jeg påstå, at hvis du havde haft mig som lærer i en tid uden Corona, ville du for det første have haft en fundamental forståelse af matematik på B niveau og stort set være sikret en tocifret karakter og måske ville du endda synes, at matematik var spændende. Du ville også kunne tage matematik på A-niveau. Så jeg sætter også lidt et spørgsmålstegn ved din påstand om 'fakta' med hensyn til dit forhold til matematik.

En faglig oplysning
lim kommer fra latin, limes, som betyder grænse. I Romerriget tænkte man naturligvis på Romerrigets grænse, som fx gik ved Rhinen i nogle hundrede år. Men i matematik bruger man udtrykket for grænseværdi.
Du kan overveje følgende
\(\lim\limits_{n \to\infty} {\frac 1 2+\frac 1{2^2}+...+\frac 1{2^n}}=1\)
Det læses "limes for n gående mod uendelig af summen en halv plus 1 over to i anden osv indtil 1 over 2 i n'te er lig 1.
Tænk på en meterstok, som du først saver over på midten i to. Den anden halvdel saves igen over i to og den ene af de to fjerdedele saves igen over i to og sådan bliver man ved. Til sidst limer man alle stumperne sammen og har igen en stok, der er 1 meter lang.

Tilbage til "Matematik B"

Hvem er online

Brugere der læser dette forum: Ingen og 4 gæster