Partiel integration

[Carsten]

Er der nogen der vil være søde at forklare, hvordan man udregner integralet af e^x * sin(x) dx ved partiel integration?

Jeg kommer ingen vegne, da både F og f' af e^x = e^x, og fordi sinus og cosinus bliver til hinanden med og uden omvendt fortegn, når man integrerer - hvilket ikke gør næste led mere simpelt end det første .... )-:

PFT,
Carsten

[number42]

\(\int e^x\cdot \sin(x) dx = \sin(x) e^x - \int \cos(x) e^x dx = \sin(x) e^x - ( \cos(x) e^x + \int \sin(x) e^x dx )\)

Du har nu det oprindelige integrale på begge sider og heraf \(2 \int sin(x) e^x = \sin(x) e^x - \cos(x) e^x\) og

\(\int \sin(x) e^x = \frac{1}{2} e^x ( \sin(x) -\cos(x) )\)

[Carsten]

Hold kæft det var smart - det havde jeg aldrig selv regnet ud - takker ! :-)

[number42]

Du er velkommen

[Carsten]

Når man rækker Fanden en lillefinger ... forsøger at løse opgaverne på webmatematik og går også død i den næste opgave under partiel integration.

Man skal integrere sin(x^½).

Jeg har forsøgt mig med substitution, men får en invers af differentialet til x^½, som ikke er en konstant og derfor ikke kan sættes udenfor integration. Dernæst forsøgte jeg med formlen for partiel integration, men får nogle vilde brøktal når jeg går baglæns med stamfunktion eller differentiale med x^½ ad flere omgange.

Er det noget, du/andre kan demonstrere trinvis?

PFT,
Carsten

[number42]

Hej igen

du substituere med \(u = \sqrt{ x}\) og \(x= u^2\) så får du \(\int sin( \sqrt{ x}) dx = \int sin(u) d (u^2) = \int sin(u) 2 u du\)

Nu begynder det at ligne noget vi kan integrere partielt og det gør vi så: \(\int sin( \sqrt{ x}) dx =-cos(u) 2 u - \int 2 cos(u) du = - 2 u Cos(u) + 2 sin(u)\) og så indsætter vi igen hvad u er: \(\int sin( \sqrt{ x}) dx = - 2 \sqrt{ x} \cdot cos( \sqrt{ x}) + 2 sin( \sqrt{ x})\)

[Carsten]

Tusind tak igen. Denne gang må jeg indrømme, at jeg ikke kan følge alle skridt, men det er nok bare et nummer for svært for mig. Har du kendskab til en god video eller materiale med uddybende trinvis forklaring? Jeg har kigget på Jim McLeans videoer, men fandt ikke lige noget på dette.

Mange tak for hjælpen so far.
Carsten

[number42]

Ville det hjælpe hvis jeg to det langsommere?

Vi indsætter en anden variable i stedet for \(\sqrt{x}\) nemlig \(u = \sqrt{x}\) dermed bliver \(x = u^2\) og
\(\frac{dx}{du} = 2 u\) det samme som dx = 2 u du

VI introducere nu det i integralet \(\int sin( \sqrt{x} ) dx = \int sin (u) 2u du\). Vi kan gøre dette fordi u er en monoton funktion af x.
Det sidste integrale kan integreres partitielt. Vi er vel enige om at formlen for partiel integration er

\(\int f(x) g(x) dx = f(x) G(x) - \int f'(x) G(x) dx\) , her er G(x) stamfunktionen til g(x) SE OGSÅ https://www.webmatematik.dk/lektioner/m ... ntegration
( her vælger jeg at bruge f(x) = 2u meden linket vælger omvendt, det er ligegyldigt)


Nu vælger vi hvad der skal være f(x) og hvad der skal være g(x), lad g(x) = sin(u), dette giver G(x) = - cos(u) og f(x) = 2u hvilket giver f'(x) = 2
Indsætter vi dette fås \(\int 2u \cdot sin(u) du = - 2 u \cdot cos(u) - \int 2 (-cos(u)) du = - 2 u \cdot cos(u) + 2 sin(u)\), så skal x indføres igen. Det giver jo \(-2 \sqrt{x} \cdot cos(\sqrt{x} + 2 sin( \sqrt{x})\)

Jeg synes du nok kan forstå dette, men måske er det substitutionen der er ny for dig så se lige

https://www.webmatematik.dk/lektioner/m ... bstitution

[number42]

Hovsa

Jeg kom til at kalde det jeg gjorde Integration ved substitution og henvise til vores artikel om det emne.

Men det jeg gjorde var bare en substitution som frembragte et integrale som kunne løses ved partiel integration. Fint nok men...

Jeg kan kun påpege at selv om det er substitution og integration så hedder det ikke Integration ved substitution.

[number42]

Hovsa

Jeg kom til at kalde det jeg gjorde Integration ved substitution og henvise til vores artikel om det emne.

Men det jeg gjorde var bare en substitution som frembragte et integrale som kunne løses ved partiel integration. Fint nok men det er ikke dækket af den henviste artikel