Velkommen til Matematikcenter online forum
Opret dig som bruger og få gratis adgang til Danmarks eneste gratis matematikhjælp for alle.
Har du allerede en bruger? Log ind her.

Vinkler mellem vektorer (2D)

Besvar
Micsoe
Indlæg: 6
Tilmeldt: 08 nov 2018, 14:56

Vinkler mellem vektorer (2D)

Indlæg af Micsoe »

Hej.

Følgende opgave er stillet:
Punkterne A(-2,5) ; B(6,1) ; C(3,-3) er givet. Bestem vinklerne i trekant ABC vha. vektorregning.

Har gjort følgende:

Finder vektorerne: (koordinaterne ville stå over hinanden, hvis jeg kunne)
AB(8,-4)
BC(-3,-4)
AC(5,-8)

Finder længderne af vektorerne:
IABI= Kvadratrod 80
IBCI=Kvadratrod 25
IACI=Kvadratrod 89

Finder skalarprodukterne af de 2 vektorer, hvorimellem vinklen skal findes:
AB prikket med AC = 72
BC prikket med AC = 17
AB prikket med BC = -8 (dvs. vinklen her er over 90 grader)

Bruger definitionen på skalarproduktet, hvor cos(v) isoleres: cos(v)=(vektor a prikket med vektor b) divideret med produktet af disse to vektorers længde.

Får vinklerne vha invers cosinus (afrundet):
A=31,5 grader
B=100 grader
C=68,9 grader

Dette giver mere end 180 grader - det er ikke godt!

Har tjekket efter i f.eks. wordMat med værdierne fra længderne. WordMat er enig i vinklerne A og C. Hvis jeg regner med modsat fortegn vedr. skalarproduktet af AB prikket med BC - (altså 8 istedet for -8) - får jeg samme resultat som wordMat, nemlig vinkel B = 79,7 grader.

SPØRGSMÅL:
Hvorfor skal dette skalarprodukt have ændret fortegn for at passe?
Kunne forstå hvis det var en længde der gav et negativt resultat, da en sidelængde ikke kan være negativt i en trekant.
Og det er jo heller ikke numerisk værdi af skalarproduktet, der anvendes så vidt vides. I så fald ville dette produkt jo ikke kunne fortælle om vinklen var spids eller stump...?
Er der nogen, der kan forklare dette?

På forhånd tak :-)

Mvh. Michael
number42
Indlæg: 1389
Tilmeldt: 10 mar 2017, 12:11

Re: Vinkler mellem vektorer (2D)

Indlæg af number42 »

Du skal rotere vektorerne i den retning du måler vinklerne. Vi regner vinkler mod uret så Cos af vinklen B bliver
\(\frac{AB \cdot CB}{ ||AB||\cdot ||CB|| }\)

Du drejer altså vektoren AB omkring B i retning mod uret for at komme til retningen CB
Vedhæftede filer
trekant.JPG
trekant.JPG (57.21 KiB) Vist 4010 gange
Micsoe
Indlæg: 6
Tilmeldt: 08 nov 2018, 14:56

Re: Vinkler mellem vektorer (2D)

Indlæg af Micsoe »

Hej...

Tak for svaret. I øvrigt et hurtigt et af slagsen... :-)

Jeg forstår det du skriver. Kan man som tommelfingerregel så ikke sige, at man skal sørge for at lade de to vektorer, man ønsker at måle vinklen mellem, have retning ENTEN fra punktet, hvorfra de udspringer/danner vinklen i, ELLER begge have retning mod det punkt (her punktet B)?

Så vidt jeg kan se vil det give det samme resultat. Blot for at kunne huske det...

Er du enig i dette..?

Mvh. Michael.
number42
Indlæg: 1389
Tilmeldt: 10 mar 2017, 12:11

Re: Vinkler mellem vektorer (2D)

Indlæg af number42 »

Du kan forestille dig at vektorerne udgår fra et hjørnepunkt i modsat retning ( i stedet for at pege på et hjørne af trekanten . Begge får så ændret fortegn og du får samme resultat.
Micsoe
Indlæg: 6
Tilmeldt: 08 nov 2018, 14:56

Re: Vinkler mellem vektorer (2D)

Indlæg af Micsoe »

Noteret... Og tak :-)

Mvh. Michael
Besvar