Velkommen til Matematikcenter online forum
Opret dig som bruger og få gratis adgang til Danmarks eneste gratis matematikhjælp for alle.
Har du allerede en bruger? Log ind her.

Differentialregning

Besvar
Jacob5920
Indlæg: 1
Tilmeldt: 20 jun 2021, 17:02

Differentialregning

Indlæg af Jacob5920 »

Hej
Hvordan beviser jeg at f(x)=ln⁡(x) er differentiabel for alle x>0?
:-)
JensSkakN
Indlæg: 1200
Tilmeldt: 17 mar 2020, 12:33

Re: Differentialregning

Indlæg af JensSkakN »

Hvis du definerer
\(\ln(x)=\int_1^x{\frac 1 z}\mathrm{d}z\,\,\,, \,x>0\)
er det indlysende, at \(\ln\) er differentiabel i 1 og at \((\ln(x))'=1\) for \(x=1\)
I et andet punkt \(x_0\) har man
\(\frac{\ln(x_0+h)-\ln(x_0)} h=\frac{\ln(1+\frac h {x_0})+\ln(x_0)-\ln(x_0)} h={\frac 1 {x_0}}\cdot{\frac{\ln(1+\frac h {x_0})-\ln(1)}{\frac h {x_0}}}\)
Men da den sidste brøk har grænseværdien 1 for \(\frac h{x_0}\) gående mod 0, får hele udtrykket grænseværdien \(\frac 1{x_0}\).
Dermed er det bevist
number42
Indlæg: 1389
Tilmeldt: 10 mar 2017, 12:11

Re: Differentialregning

Indlæg af number42 »

\(e^x\) og ln(x) er omvendte funktioner

\(e^x\) er differentiabel for alle værdier af x med differential koefficienten \(e^x\) som er positiv for alle x

Heraf følger at ln(x) er differentiabel for alle x>0
Besvar