Hej
Hvordan beviser jeg at f(x)=ln(x) er differentiabel for alle x>0?
:-)
Velkommen til Matematikcenter online forum
Opret dig som bruger og få gratis adgang til Danmarks eneste gratis matematikhjælp for alle.
Har du allerede en bruger? Log ind her.
Opret dig som bruger og få gratis adgang til Danmarks eneste gratis matematikhjælp for alle.
Har du allerede en bruger? Log ind her.
Differentialregning
Re: Differentialregning
Hvis du definerer
\(\ln(x)=\int_1^x{\frac 1 z}\mathrm{d}z\,\,\,, \,x>0\)
er det indlysende, at \(\ln\) er differentiabel i 1 og at \((\ln(x))'=1\) for \(x=1\)
I et andet punkt \(x_0\) har man
\(\frac{\ln(x_0+h)-\ln(x_0)} h=\frac{\ln(1+\frac h {x_0})+\ln(x_0)-\ln(x_0)} h={\frac 1 {x_0}}\cdot{\frac{\ln(1+\frac h {x_0})-\ln(1)}{\frac h {x_0}}}\)
Men da den sidste brøk har grænseværdien 1 for \(\frac h{x_0}\) gående mod 0, får hele udtrykket grænseværdien \(\frac 1{x_0}\).
Dermed er det bevist
\(\ln(x)=\int_1^x{\frac 1 z}\mathrm{d}z\,\,\,, \,x>0\)
er det indlysende, at \(\ln\) er differentiabel i 1 og at \((\ln(x))'=1\) for \(x=1\)
I et andet punkt \(x_0\) har man
\(\frac{\ln(x_0+h)-\ln(x_0)} h=\frac{\ln(1+\frac h {x_0})+\ln(x_0)-\ln(x_0)} h={\frac 1 {x_0}}\cdot{\frac{\ln(1+\frac h {x_0})-\ln(1)}{\frac h {x_0}}}\)
Men da den sidste brøk har grænseværdien 1 for \(\frac h{x_0}\) gående mod 0, får hele udtrykket grænseværdien \(\frac 1{x_0}\).
Dermed er det bevist
Re: Differentialregning
\(e^x\) og ln(x) er omvendte funktioner
\(e^x\) er differentiabel for alle værdier af x med differential koefficienten \(e^x\) som er positiv for alle x
Heraf følger at ln(x) er differentiabel for alle x>0
\(e^x\) er differentiabel for alle værdier af x med differential koefficienten \(e^x\) som er positiv for alle x
Heraf følger at ln(x) er differentiabel for alle x>0