Side 1 af 1

Differentialregning

: 13 jun 2021, 17:45
af bare laura
NB: Emnet hører nok til mat B, selvom jeg har mat A.
Spørgsmålet er opstået, da jeg så videoen herfra: https://www.webmatematik.dk/lektioner/b ... rentiation

Hej, jeg har svært ved at forstå at beviset for differentiation af sum er det samme som det for differentiation af differens. Det er fordi der ved differens i tælleren kommer til at stå f(x+dx)-g(x+dx)-(g(x)-f(x) som bliver delt op i tællerne f(x+dx)+f(x) - g(x+dx)+g(x), hvilket ikke matcher tællerne i g'(x) og f'(x). Jeg håber, i forstår mit spørgsmål og kan hjælpe mig:)
Bedste hilsner Laura

Re: Differentialregning

: 13 jun 2021, 20:45
af ringstedLC
Velkommen på webmatematik.dk

Nej, men du er lidt undskyldt, dels fordi der mangler en slutparentes og dels fordi forskellen ved differens forklares lidt upræcist:
Sum:
\(\begin{array} {lll} \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\bigl(f(x)+g(x)\bigr)\!\!\!\! &= \underset{\,h\,\rightarrow \,0}{\lim}\biggl(\frac{f(x+h)\,+\,g(x+h)\,-\,\color{Red} {\bigl(}f(x)\,+\,g(x)\color{Red} {\bigr)}}{h}\biggr)\quad ,\;\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} \color{Red} {c}}\bigl(f(c)\bigr)=\underset{\,h\,\rightarrow \,0}{\lim}\Bigl(\frac{f(c+h)\,-\,f(c)}{h}\Bigr)
\\ &= \underset{\,h\,\rightarrow \,0}{\lim}\biggl(\frac{f(x+h)\,+\,g(x+h)\,-\,f(x)\,-\,g(x)}{h}\biggr) \\ &= \underset{\,h\,\rightarrow \,0}{\lim}\biggl(\frac{\bigl[f(x+h)\,-\,f(x)\bigr]+\bigl[g(x+h)\,-\,g(x)\bigr]}{h}\biggr) \\ &= \underset{\,h\,\rightarrow \,0}{\lim}\Bigl(\frac{f(x+h)\,-\,f(x)}{h}\Bigr) +\underset{\,h\,\rightarrow \,0}{\lim}\Bigl(\frac{g(x+h)\,-\,g(x)}{h}\Bigr) =\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\bigl(f(x)\bigr)+\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\bigl(g(x)\bigr) \end{array}\)

Differens:
\(\begin{array} {lll} \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\bigl(f(x)-g(x)\bigr)\!\!\!\! &= \underset{\,h\,\rightarrow \,0}{\lim}\biggl(\frac{f(x+h)\,-\,g(x+h)\,-\,\color{Red} {\bigl(}f(x)\,+\,g(x)\color{Red} {\bigr)}}{h}\biggr) \\ &= \underset{\,h\,\rightarrow \,0}{\lim}\biggl(\frac{f(x+h)\,-\,g(x+h)\,-\,f(x)\,-\,g(x)}{h}\biggr) \\ &= \underset{\,h\,\rightarrow \,0}{\lim}\biggl(\frac{\bigl[f(x+h)\,-\,f(x)\bigr]-\bigl[g(x+h)\,-\,g(x)\bigr]}{h}\biggr) \\ &= \underset{\,h\,\rightarrow \,0}{\lim}\Bigl(\frac{f(x+h)\,-\,f(x)}{h}\Bigr) -\underset{\,h\,\rightarrow \,0}{\lim}\Bigl(\frac{g(x+h)\,-\,g(x)}{h}\Bigr) =\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\bigl(f(x)\bigr)-\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}\bigl(g(x)\bigr) \end{array}\)

... og dét kalder man så et bevis ...

Re: Differentialregning

: 13 jun 2021, 22:15
af bare laura
arrh, okay, tak for hjælpen!

Re: Differentialregning

: 13 jun 2021, 23:06
af number42
Der var en lille smutter med fortegnet i ringstedLC differens udtryk.

Altså f(x)-g(x), tælleren skal naturligvis være ( f(x+h)-g(x+h)) - ( f(x)-g(x))

Men til slut bliver det rigtigt

Re: Differentialregning

: 14 jun 2021, 10:42
af bare laura
Se det forstår jeg ikke, for jeg havde tænkt det samme til at starte med, men så kommer der til at stå +f(x) og +g(x) i tællerne til sidst, hvilket ikke stemmer overens med tælleren i differentialkvotienten... vel?

Re: Differentialregning

: 14 jun 2021, 14:49
af number42
( f(x+h)-g(x+h)) - ( f(x)-g(x)) = f(x+h)-f(x) - ( g(x+h) - g(x) )

Så du ender med at få f'(x) - g'(x) hvilket er det du skulle have ved at differentiere f(x)-g(x)

Du regner et eller andet galt

Re: Differentialregning

: 14 jun 2021, 20:27
af bare laura
Arh yes, jeg kan se det nu!:) tak for hjælpen