Har virkelig brug for hjælp til at løse dette spørgsmål:
"Vis hvordan differentialkvotienten for ex kan udnyttes til udledning af differentialkvotienten for en anden funktion"
Velkommen til Matematikcenter online forum
Opret dig som bruger og få gratis adgang til Danmarks eneste gratis matematikhjælp for alle.
Har du allerede en bruger? Log ind her.
Opret dig som bruger og få gratis adgang til Danmarks eneste gratis matematikhjælp for alle.
Har du allerede en bruger? Log ind her.
HJÆLP! - Differentialkvotient for e^x
Re: HJÆLP! - Differentialkvotient for e^x
Det er en lidt mystisk opgave.
Den fornemmelse man får er at måske er den anden funktion \(y = a^x\) Men hvorfor \(e^x\) skulle hjælpe er vist lidt langt ude. De kan begge to differentieres på samme måde:
\(y = a^x\) tag logaritmen på begge siderh
\(log( y) = x log(a)\) det differentieres på begge sider mht x
\(\frac{d}{dx} log(y) = log(a) \frac{dx}{dx } = log(a)\) Nu erstattes \(\frac{d}{dx} = \frac{dy}{dx} \frac{d}{dy}\)
Så man får \(\frac{dy}{dx} \frac{d}{dy} log( y) = \frac{dy}{dx} \frac{1}{y} = log(a)\) og
\(\frac{dy}{dx} = y log(a)\) til sidst Indsætter \(y = a^x\) og man får
\(\frac{d a^x}{dx} = a^x log(a)\) som sagt kan man foretage den samme manøvre med \(e^x\)
Jeg kan ikke lige komme i tanke på andet. Måske står der mere i din opgave eller der er en forhistorie
Den fornemmelse man får er at måske er den anden funktion \(y = a^x\) Men hvorfor \(e^x\) skulle hjælpe er vist lidt langt ude. De kan begge to differentieres på samme måde:
\(y = a^x\) tag logaritmen på begge siderh
\(log( y) = x log(a)\) det differentieres på begge sider mht x
\(\frac{d}{dx} log(y) = log(a) \frac{dx}{dx } = log(a)\) Nu erstattes \(\frac{d}{dx} = \frac{dy}{dx} \frac{d}{dy}\)
Så man får \(\frac{dy}{dx} \frac{d}{dy} log( y) = \frac{dy}{dx} \frac{1}{y} = log(a)\) og
\(\frac{dy}{dx} = y log(a)\) til sidst Indsætter \(y = a^x\) og man får
\(\frac{d a^x}{dx} = a^x log(a)\) som sagt kan man foretage den samme manøvre med \(e^x\)
Jeg kan ikke lige komme i tanke på andet. Måske står der mere i din opgave eller der er en forhistorie
Re: HJÆLP! - Differentialkvotient for e^x
Det er formentlig for sent nu, men jeg tror, jeg ved, hvad eksaminator har tænkt på
Som bekendt er \((\mathrm{e}^x)'=\mathrm{e}^x\)
Desuden gælder \(a=\mathrm{e}^{\ln(a)}\implies a^x=\mathrm{e}^{\ln(a)\cdot x}\)
Deraf følger \((a^x)'=(\mathrm{e}^{\ln(a)\cdot x})'={\ln(a)}\cdot{a^x}\)
Som bekendt er \((\mathrm{e}^x)'=\mathrm{e}^x\)
Desuden gælder \(a=\mathrm{e}^{\ln(a)}\implies a^x=\mathrm{e}^{\ln(a)\cdot x}\)
Deraf følger \((a^x)'=(\mathrm{e}^{\ln(a)\cdot x})'={\ln(a)}\cdot{a^x}\)
Re: HJÆLP! - Differentialkvotient for e^x
Meget muligt. Men forhistorien mangler.
Der burde være en invitation til hvad retning man bør gå.
Der burde være en invitation til hvad retning man bør gå.