Velkommen til Matematikcenter online forum
Opret dig som bruger og få gratis adgang til Danmarks eneste gratis matematikhjælp for alle.
Har du allerede en bruger? Log ind her.

Bevis for kvadratoden af 2 = irrationelt tal

Besvar
FrederikL
Indlæg: 4
Tilmeldt: 11 apr 2020, 17:22

Bevis for kvadratoden af 2 = irrationelt tal

Indlæg af FrederikL »

Hej,

Jeg sidder fast med forståelsen for dette bevis, hvor vi ved et modstridigt bevis finder frem til at √2= irratinoelt tal

Regler
1) Rationelle tal er defineret som kan opstilles som brøkker i deres Mest forkortet form.


2) Brøkker kan forkortes så længe der er lige tal i tæller og nævner. F.eks.4/8 = 2/4 = 1/2
1/2 er forkortet mest muligt da tæller er blevet et ulige tal.

Lige tal er defineret ud fra denne ligning (2*helt tal = Lige tal )

bevis...

√2=(a/b)
2=a^2/b^2

2b^2=a^2
a=lige tal


2b^2=2∗K

4∗b^2=2∗K

2∗b^2=(2∗k)/2

2∗b^2=k

b^2=2∗k

B = lige tal

da a og b = lige tal, er brøkken ikke forkortet mest muligt og derfor er √2 et irrationelt tal.


min manglende forståelese ligger i at jeg ikke forstår hvordan vi er 100% sikre på at b^2 er = helt tal???

håber i kan hjælpe mig :)
JensSkakN
Indlæg: 1200
Tilmeldt: 17 mar 2020, 12:33

Re: Bevis for kvadratoden af 2 = irrationelt tal

Indlæg af JensSkakN »

Bemærk, at \(\frac{3}{12}\) kan forkortes, selvom tælleren er ulige
Jeg kan ikke helt følge din argumentation - jeg tror, du mangler nogle parenteser.
Men b er et helt tal, for det indgår i definitionen på et rationalt tal, at det er en brøk med hele tal i tæller og nævner.
Ellers ville alle tal være rationale tal, f.x. \(\pi=\frac{\pi}{1}\)
JensSkakN
Indlæg: 1200
Tilmeldt: 17 mar 2020, 12:33

Re: Bevis for kvadratoden af 2 = irrationelt tal

Indlæg af JensSkakN »

Jeg skriver lige beviset lidt pænere
Det antages, at \(\sqrt 2\) er et rationalt tal, dvs (NB ikke rationelt)
\(\sqrt 2 = \frac{a}{b}\)
Her er \(a\) og \(b\) hele tal, og brøken er forkortet mest muligt.
Ligningen kvadreres
\(2=\frac{a^2}{b^2} \Rightarrow {2}\cdot{b^2}={a^2}\)
Men så er \(a^2\) et lige tal og derfor er \(a\) lige.
\(a=2n\Rightarrow a^2=4n^2={2}\cdot{b^2} \Rightarrow b^2={2}\cdot{n^2}\)
Altså er \(b\) også et lige tal, men så har vi en modstrid, da brøken så kan forkortes.
FrederikL
Indlæg: 4
Tilmeldt: 11 apr 2020, 17:22

Re: Bevis for kvadratoden af 2 = irrationelt tal

Indlæg af FrederikL »

Tak for svar, det giver mening for mig nu :)

beklager den rodet opstilling.
Besvar