Velkommen til Matematikcenter online forum
Opret dig som bruger og få gratis adgang til Danmarks eneste gratis matematikhjælp for alle.
Har du allerede en bruger? Log ind her.

funktioner af to variable

Besvar
Tina_k
Indlæg: 11
Tilmeldt: 05 apr 2020, 15:02

funktioner af to variable

Indlæg af Tina_k »

Hej, jeg har besvær med at forstår denne her opgave og hvordan den skal løses - nogen der kan hjælpe?
Mvh Tina

Opgave 3
a) Vis at funktionen f(x,y)=((6y)/(x^(2)+y^(2)+4))
Har et lokaltminimum i (0,-2,-1.5), og et lokaltmaksimum (0,2,1.5)
b) Tegn derefter i hver sit grafvindue funktionen omkring h.h.v maksimum og minimum
c) Tegn også tangentplanerne i de to punkter
ringstedLC
Indlæg: 624
Tilmeldt: 22 okt 2017, 18:05

Re: funktioner af to variable

Indlæg af ringstedLC »

a) Forståelse: Det betyder, at du skal bestemme de to punkter og få det samme resultat som opgaven.
Det svarer til, at du har en facitliste.

Metode:
Tegn f, såsnart du kan. Det giver overblik og multivar. funktioner bliver meget nemt uoverskuelige på skriftform.
Du kender til begrebet lokale min./maks.-punkter, altså ekstrema.
I ekstrema er hældningen nul, så du diff. f, sætter = 0 og indsætter løsningen (-erne) i f.
Fuldstænding som ved en funktion med en variabel.
Måske kan du allerede på grafen se de to steder i "bakkelandskabet" som det handler om.

Teknik:
Differentier for en variabel ad gangen med din CAS. Rødderne bliver enten værdier eller udtryk.
Ved udtryk indsætter du så værdien af den anden rod og beregner.
De to endelige værdier og deres funktionsværdi giver ekstrema. Igen som ved enkeltvar. funktioner.

c) Tangentplanen i et ekstrema har hældningen 0 i alle tre retninger, svarende til tangenten ved 2D grafer.
Den er altså en forskydning af xy-planen, som har normalvektoren:

\(\vec{n}_{\alpha}=\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} \\
\alpha_{\,0}: a\,(x-x_0)+b\,(y-y_0)+c\,(z-z_0)=0\;,\;z_0=f \bigl(f'=0)\bigr)\)


Afslut med at pynte lidt på tegningerne så fx de to planer får hver sin farve, forskellige fra funktionsgrafen.
Drej figurerne så sammenhængene fremgår tydeligt. Derved viser du også forståelse for opgaven.

Af praktiske årsager har jeg lavet det hele på kun en tegning.
_0.png
_0.png (27.37 KiB) Vist 2622 gange
Besvar