Velkommen til Matematikcenter online forum
Opret dig som bruger og få gratis adgang til Danmarks eneste gratis matematikhjælp for alle.
Har du allerede en bruger? Log ind her.

Cylinderformet flaske med kegle hoved

GammelSmølf
Indlæg: 3
Tilmeldt: 07 okt 2019, 12:54

Cylinderformet flaske med kegle hoved

Indlægaf GammelSmølf » 07 okt 2019, 12:57

Jeg sidder med en opgave som lyder:

En flaske skal produceres med et elegant flaske design. Den ny flaske skal indeholde 0,7 liter og flasken nederste del skal være cylinderformet med cirkulær bund. Den øverste del skal være formet som en kegle. Der skal ikke tages hensyn til, at den øverste spids af keglen senere omformes til en åbning, som øllen kan hældes ud af.

Find det mindste materialeforbrug ved produktionen af denne flaske.


Jeg ved at der skal gøres brug af differentialregning og jeg ved også godt hvordan det gøres, når man blot har en cylinder med en kendt volumen. Hvordan forholder man sig, når man også skal se på kegletoppen?
number42
Indlæg: 927
Tilmeldt: 10 mar 2017, 12:11

Re: Cylinderformet flaske med kegle hoved

Indlægaf number42 » 07 okt 2019, 17:46

Volumen af cylindre er \(h_c *G\) og volumen af en kegle er \(h_k/3 * G\) hvor G er arealet af bunden på cylindren.

Du har tre parametre , højde af cylinder, højde af kegle og radius af bunden.

Du skal så have materiale forbruget og antager at materialet er lige tykt over det hele så overfladen er nok at minimere. Det er bunden G og cylinderens højde gange omkreds plus keglens overflade .

Keglen kan foldes ud så den bliver et cirkeludsnit med radius \(R= \sqrt{ h_k^2 + r^2 }\) hvor r er radius af cylindrens bund. Du kan regne arealet ud idet hele cirklen med radius R har arealet \(2 \pi R^2\) og den del som er den udfoldede kegle er r/R. Gange så meget.

Ok?
number42
Indlæg: 927
Tilmeldt: 10 mar 2017, 12:11

Re: Cylinderformet flaske med kegle hoved

Indlægaf number42 » 08 okt 2019, 18:59

For lige at opsummere ( jeg havde egentlig ventet at du kom tilbage)

Her er løsningen: hk = 0,5404. hc = 0,7287 r = 0,5035
GammelSmølf
Indlæg: 3
Tilmeldt: 07 okt 2019, 12:54

Re: Cylinderformet flaske med kegle hoved

Indlægaf GammelSmølf » 13 okt 2019, 13:23

Tak for dit svar! :)

Jeg er ikke helt med på, hvordan du tænker... Jeg kender udregningerne af begge volumener, men hvis jeg sætter dem sammen i en ligning, vil jeg få en med 3 ubekendte.. Det kan jo ikke udregnes ? :)

Hvorfor er det nødvændigt at finde cirkeludsnittet? Og hvordan gøres der brug af differentialregning..?
number42
Indlæg: 927
Tilmeldt: 10 mar 2017, 12:11

Re: Cylinderformet flaske med kegle hoved

Indlægaf number42 » 13 okt 2019, 13:43

Ja, det er netop sagen.
Først elemineres en af parametrene fx hk (kegle højden) ved at isolere hk i volumen ligningen og i overflade ligningen.

Så sættes de to udtryk for hk lig hinanden og man har en ligning som kan løses for overfladen O. Man har dermed fået et udtryk for O som indeholder det givne volumen og de to andre parametre r og hc

Men så begynder problemerne. Teoretisk kan man godt finde et minimum for et udtryk med to variable men det ser ud til at blive meget rodet at løse analytisk selv med en god CAS. Jeg har derfor ikke forsøgt det.

Nu har jeg en CAS som kan løse problemet numerisk og det gjorde jeg så med det viste resultat. Det er meget sandsynligt at der findes flere CAS som kan.

Min funktion hedder FindMinimum det hedder den nok også i andre , kan ikke finde den i Geogebra.

Man kan også løse det ved at gætte på et sæt værdier og forsøge sig frem men det er en masse arbejde
number42
Indlæg: 927
Tilmeldt: 10 mar 2017, 12:11

Re: Cylinderformet flaske med kegle hoved

Indlægaf number42 » 13 okt 2019, 15:22

Det var lidt forilet ikke at prøve en analytisk løsning så her kommer den:
Det O udttrykt som funktion af r og hc som differentieres. D betyder differentiation, Til min overraskelse er der to løsninger.
Vedhæftede filer
Analytisk.JPG
Analytisk.JPG (71.71 KiB) Vist 33 gange
number42
Indlæg: 927
Tilmeldt: 10 mar 2017, 12:11

Re: Cylinderformet flaske med kegle hoved

Indlægaf number42 » 13 okt 2019, 15:58

Du skal huske at prøve hvilken af de to løsninger som giver det bedste resultat.
number42
Indlæg: 927
Tilmeldt: 10 mar 2017, 12:11

Re: Cylinderformet flaske med kegle hoved

Indlægaf number42 » 13 okt 2019, 18:46

Her er så hele løsningen
Vedhæftede filer
analyt 2.JPG
analyt 2.JPG (100.27 KiB) Vist 26 gange
GammelSmølf
Indlæg: 3
Tilmeldt: 07 okt 2019, 12:54

Re: Cylinderformet flaske med kegle hoved

Indlægaf GammelSmølf » 14 okt 2019, 08:42

Når jeg nu ser udregning, kan jeg sagens følge dig!

Tusinde tak for din hjælp, number42! :)

Tilbage til "Matematik A"

Hvem er online

Brugere der læser dette forum: Ingen og 1 gæst