Rotation omkring akserne

[MikeCharlie]

Hej

Jeg sidder med volumenberegnelse af omdrejningslegemer og opdager at de to formler adskiller sig fra hinanden på følgende måde:

\(V_x=2\pi\int_{a}^{b}{f(x)^2}\cdot{dx}\)

\(V_y=\pi\int_{a}^{b}{f(x)\cdot{x}}\cdot{dx}\)

Hvis jeg nu tager udgangspunkt i et eksempel \(f(x)=x+1\) hvor jeg integrerer fra \(a=1\) til \(b=3\) og roterer punktmængden omkring \(y\)-aksen, så er

\(V_y=\pi\int_{1}^{3}{(x+1)\cdot{x}}\cdot{dx}=2\pi\int_{1}^{3}{(x^2+x)}dx=2\pi[\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{2}x^2]_{1}^{3}=2\pi[9+\frac{9}{2}-\frac{1}{3}-\frac{1}{2}]=2\pi\frac{38}{3}\)

Hvis jeg nu skal rotere punktmængden omkring \(x\)-aksen får jeg

\(V_x=2\pi\int_{1}^{3}{(x+1)^2}\cdot{dx}=\frac{112\cdot{\pi}}{3}\)

De to volumener er forskellige, da \(f(x)\) er forskudt \(1\) op ad \(y\)-aksen, men jeg forstår ikke hvorfor de to formler ser forskellige ud?

Mvh

MikeCharlie

[JensSkakN]

De to formler er forskellige, fordi det er to meget forskellige klodser, du beregner rumfaget af.
Forestil dig funktionen \(f(x)=1, a=7, b=9\). Hvis du drejer om \(x-\)aksen, har du en cylinder med højde 2 og radius 1.
Hvis du drejer om \(y-\), har du en ring med tykkelse 1, ydre diameter 9 og hullets diameter er 7.

[MikeCharlie]

Tak, Jens.

Det kan jeg godt se. Det gik også lige op for mig at funktionværdien bliver omdrejningslegemets radius når man roterer rundt \(x\)-aksen.