Velkommen til Matematikcenter online forum
Opret dig som bruger og få gratis adgang til Danmarks eneste gratis matematikhjælp for alle.
Har du allerede en bruger? Log ind her.

Funktioner og differentialregning

dani9963
Indlæg: 7
Tilmeldt: 28 apr 2020, 15:13

Funktioner og differentialregning

Indlægaf dani9963 » 02 aug 2020, 12:27

Hej Webmatematik

Jeg har en opgave, som jeg ikke ved hvordan jeg skal gå til.

En funktion f er bestemt ved
f(x)=2x + 1 + k*sin(x)

hvor k er en konstant.

Bestem k, så f er voksende.

Jeg ville i første omgang finde f'(x) og sætte den lig 0 for at bestemme funktionen for løsninger, hvor tangenthældningen er lig 0
f'(x)=0
0=2 + k*cos(x)

Så isolere x
x=Pi - arccos(2/k)

For at bestemme k, så f er voksende, skal jeg så nu indsætte min nye x i f'(x) og bestemme k? Det har jeg prøvet, men så får jeg løsningen k = k... Løsningen er vel bestemmelsen af monotoniforholdene for værdien af k.
ringstedLC
Indlæg: 375
Tilmeldt: 22 okt 2017, 18:05

Re: Funktioner og differentialregning

Indlægaf ringstedLC » 02 aug 2020, 14:46

Se funktionens graf som en ret linje med en overlejret sinuskurve.
Selve den rette linje er voksende, så "hele" grafen vil kun være aftagende,
når sinuskurven er mere aftagende end den rette linje.
Når funktionen er voksende, må der gælde:

\(f'(x)=2+k\, \cos(x)\geq 0\)

Brug så din viden om min./maks. af cosinus til at opstille og løse de to uligheder:

\(2+k\cdot \cos_{\,maks.}\geq 0 \wedge 2+k\cdot \cos_{\,min.}\geq 0\Rightarrow k \in \left \{... \right \}\)
dani9963
Indlæg: 7
Tilmeldt: 28 apr 2020, 15:13

Re: Funktioner og differentialregning

Indlægaf dani9963 » 02 aug 2020, 17:20

Tak for svar. Jeg kom frem til løsningen, men jeg synes ikke det giver mening at løse for cos[min], og det passer heller ikke med det jeg ser, når jeg plotter den fundne k-værdi i mit CAS-program (her plotter jeg cos[maks]).

Den mindste værdi cosinus kan antage er Pi, som er lig -1, og som det kan ses nederst i billedet må k ikke være mindre end 2. Men alle værdier k antager over -2 vil give funktionen en positiv hældning.
Vedhæftede filer
Uligheder løsning.png
Uligheder løsning.png (27.59 KiB) Vist 44 gange
ringstedLC
Indlæg: 375
Tilmeldt: 22 okt 2017, 18:05

Re: Funktioner og differentialregning

Indlægaf ringstedLC » 02 aug 2020, 19:24

dani9963 skrev:... og det passer heller ikke med det jeg ser, når jeg plotter den fundne k-værdi i mit CAS-program

- Ved diff.-k./hældning er det "farligt" at flytte sit nulniveau.
- Ved plot af uligheder kan du sjældent konkludere noget udfra én værdi.
- Trig.-funktioner uden interval bør ihvertfald undersøges i [0;2pi].

dani9963 skrev:Den mindste værdi cosinus kan antage er Pi, som er lig -1...

Nej, men:

\(\cos(\pi)=-1\Rightarrow k\leq 2\)

mens:

\(\cos_{\,min.}(x)=-1\neq \pi\)

dani9963 skrev:... og som det kan ses nederst i billedet må k ikke være mindre end 2.

Nej, k skal være mindre end eller lig med 2. Disse to betingelser sammenfattes så til ét interval/en mængde.

\(-2\leq k\leq 2\)

Prøv at se det for dig; sinus ganges med k som er amplituden.
Derved forstærkes udsvinget og dermed hældningen.
Og hvis hældningen af den aftagende del af kurven bliver mindre (mere negativ) end den rette linjes,
så vokser funktionen ikke.

Lav en skyder for k og se hvad der sker, når den ændres.
dani9963
Indlæg: 7
Tilmeldt: 28 apr 2020, 15:13

Re: Funktioner og differentialregning

Indlægaf dani9963 » 02 aug 2020, 20:21

Jeg lavede en slider i mit CAS-program og kan nu se at du har fuldstændig ret. Jeg forstår ikke hvad du mener med cos(Pi)=-1 og cos(x)=-1 (ulig) Pi. Tak for din hjælp.
ringstedLC
Indlæg: 375
Tilmeldt: 22 okt 2017, 18:05

Re: Funktioner og differentialregning

Indlægaf ringstedLC » 02 aug 2020, 20:58

dani9963 skrev:Jeg forstår ikke hvad du mener med cos(Pi)=-1 og cos(x)=-1 (ulig) Pi.


Det tror jeg nu nok, at du gør. Kig på den igen om noget tid; så skal du bare se.
Hvis du så stadig ikke forstår det, skal du læse op på definitionerne af de trigonometriske funktioner
eller vende tilbage.
JensSkakN
Indlæg: 419
Tilmeldt: 17 mar 2020, 12:33

Re: Funktioner og differentialregning

Indlægaf JensSkakN » 02 aug 2020, 23:41

Jeg håber, at det ikke forvirrer, at jeg blander mig. Du skriver tidligere: den mindste værdi cosinus kan antage er pi, som er lig minus 1. Begge dele er forkerte. Funktionen cosinus antager altid værdier mellem -1 og 1. Den antager derfor aldrig værdien pi, som er et tal lidt større end 3,14. Pi er derfor ikke lig -1. Men funktionen cosinus antager værdien -1 når x er lig pi. Man kan også formulere det, at argumentet er lig pi. Derfor gælder cos(pi)=-1.

Tilbage til "Matematik A"

Hvem er online

Brugere der læser dette forum: Ingen og 11 gæster