Jeg har siddet med denne ligning igen og igen, og kan simpelthen ikke få de rigtige resultater.
Den skal løse den i hånden og ikke gennem CAS.
Der skal findes 3 x'er:
C(x) = R(X) =>
0,02x^3 -4,2x^2+480x +11890 = 600x
Håber nogen kan hjælpe!
Vh
Velkommen til Matematikcenter online forum
Opret dig som bruger og få gratis adgang til Danmarks eneste gratis matematikhjælp for alle.
Har du allerede en bruger? Log ind her.
Opret dig som bruger og få gratis adgang til Danmarks eneste gratis matematikhjælp for alle.
Har du allerede en bruger? Log ind her.
3. gradsligning. Hvordan løses den i hånden?
3. gradsligning. Hvordan løses den i hånden?
Senest rettet af Lugano21 15 mar 2019, 22:15, rettet i alt 1 gang.
-
- Indlæg: 624
- Tilmeldt: 22 okt 2017, 18:05
Re: 3. gradsligning. Hvordan løses den i hånden?
Velkommen på Webmatematik
Jeg tror, at du har læst/regnet/skrevet forkert.
Jeg tror, at du har læst/regnet/skrevet forkert.
Re: 3. gradsligning. Hvordan løses den i hånden?
Mange tak.
Ja, den blev vist skrevet forkert op. Har redigeret oprindelige opslag.
Det er denne ligning:
C(x) = R(X) =>
0,02x^3 -4,2x^2+480x +11890 = 600x
Håber det giver mere mening.
Ja, den blev vist skrevet forkert op. Har redigeret oprindelige opslag.
Det er denne ligning:
C(x) = R(X) =>
0,02x^3 -4,2x^2+480x +11890 = 600x
Håber det giver mere mening.
Re: 3. gradsligning. Hvordan løses den i hånden?
Du er nok nødt til at bruge Cardanos metode
1) Man reducerer ligningen så den hedder\(x^3+ax^2+bx+c =0\)
Det gøres fx ved at dividere med 0.02 således \(x^3-210 x^2-6000 x+594500 =0\)
Cardano gør nu således
substituer x = t -a/3 og få \(t^3+ pt+q =0\) , nu et andengradsledet forsvundet.
Han opfinder nu \(u^3-v^3 =q\) og \(u \cdot v= p/3\) en løsning til ligningen er t = v-u (check ved indsættelse)
Du skal finde u og v af de to ligninger således v= p/(3u) og dermed \(u^3 - (p/(3u))^3 =q\) giver u^3 - p^3/(27 u^3) =q som reduceres til
\((u^3)^2 -q u^3-p^3/27 =0\), det er en andengrads ligning for \(u^3\) som løses på sædvanlig vis.
\(u^3 = \frac{1}{18}( 9 q \pm \sqrt{3} \sqrt{4 p^3+27 q^2})\) og v = p/(3u)
Vi har x = t-a/3 og x+a/3 = t = v-u så x = P/(3 u) -u-a/3 og du har den første løsning til din ligning.
Så trækker du vejret, holder en kaffepause og der efter dividere du den løsning op i din ligning og får en andengradsligning som holder de to andre rødder.
1) Man reducerer ligningen så den hedder\(x^3+ax^2+bx+c =0\)
Det gøres fx ved at dividere med 0.02 således \(x^3-210 x^2-6000 x+594500 =0\)
Cardano gør nu således
substituer x = t -a/3 og få \(t^3+ pt+q =0\) , nu et andengradsledet forsvundet.
Han opfinder nu \(u^3-v^3 =q\) og \(u \cdot v= p/3\) en løsning til ligningen er t = v-u (check ved indsættelse)
Du skal finde u og v af de to ligninger således v= p/(3u) og dermed \(u^3 - (p/(3u))^3 =q\) giver u^3 - p^3/(27 u^3) =q som reduceres til
\((u^3)^2 -q u^3-p^3/27 =0\), det er en andengrads ligning for \(u^3\) som løses på sædvanlig vis.
\(u^3 = \frac{1}{18}( 9 q \pm \sqrt{3} \sqrt{4 p^3+27 q^2})\) og v = p/(3u)
Vi har x = t-a/3 og x+a/3 = t = v-u så x = P/(3 u) -u-a/3 og du har den første løsning til din ligning.
Så trækker du vejret, holder en kaffepause og der efter dividere du den løsning op i din ligning og får en andengradsligning som holder de to andre rødder.
Re: 3. gradsligning. Hvordan løses den i hånden?
Jeg syntes lige at jeg skulle prøve det:
Altså\(x^3+a x^2+b x+c =0\)
Substituer x = t-a/3 og få \(t^3+ (-(a^2/3) + b) t+(2 a^3)/27 - (a b)/3 + c =0\) heraf findes \(p =(-(a^2/3) + b)\) og \(q= (2 a^3)/27 - (a b)/3 + c\)
Altså \(t^3 + pt + q = 0\), nu sættes \(q = u^3-v^3\) og \(p = 3 u v\) og vi får
\(t^3 + 3 u v t + (u^3-v^3) =0\) vi kan løse den ligning og EN af løsningerne er t = v-u
for andengrads ligningen er der to løsninger og vi vælger bare en af dem ( den med + før kvadratroden, men det er ligegyldigt)
NU er det praktisk at indsætte tallene for at finde u = 64,7061 + 52,0876 I (det er bare en at de tre løsninger , igen ligegyldigt hvilken )
\(x = p/(3 u) - u - a/3\) her indsættes p og u og a således at x = -59,4122, bemærk at den irrationelle del bare forsvandt.
divideres (x + 59,4122) op i \(x^3 -250 x^2-6000 x+594500\) fås \(x^2 -269,412 x + 10006,4\)
Andengradsligningen kan løses og man får x = 44.4877 og x = 224.925.
Løser vi tredjegradsligning med en CAS får vi det samme. {x -> -59.4122 + 0. I}, {x -> 44.4877 + 0. I}, {x -> 224.925 - 4.44089*10^-15 I}
Altså\(x^3+a x^2+b x+c =0\)
Substituer x = t-a/3 og få \(t^3+ (-(a^2/3) + b) t+(2 a^3)/27 - (a b)/3 + c =0\) heraf findes \(p =(-(a^2/3) + b)\) og \(q= (2 a^3)/27 - (a b)/3 + c\)
Altså \(t^3 + pt + q = 0\), nu sættes \(q = u^3-v^3\) og \(p = 3 u v\) og vi får
\(t^3 + 3 u v t + (u^3-v^3) =0\) vi kan løse den ligning og EN af løsningerne er t = v-u
for andengrads ligningen er der to løsninger og vi vælger bare en af dem ( den med + før kvadratroden, men det er ligegyldigt)
NU er det praktisk at indsætte tallene for at finde u = 64,7061 + 52,0876 I (det er bare en at de tre løsninger , igen ligegyldigt hvilken )
\(x = p/(3 u) - u - a/3\) her indsættes p og u og a således at x = -59,4122, bemærk at den irrationelle del bare forsvandt.
divideres (x + 59,4122) op i \(x^3 -250 x^2-6000 x+594500\) fås \(x^2 -269,412 x + 10006,4\)
Andengradsligningen kan løses og man får x = 44.4877 og x = 224.925.
Løser vi tredjegradsligning med en CAS får vi det samme. {x -> -59.4122 + 0. I}, {x -> 44.4877 + 0. I}, {x -> 224.925 - 4.44089*10^-15 I}
Re: 3. gradsligning. Hvordan løses den i hånden?
Mange tak for jeres udførlige svar! Dem vil jeg tygge videre på :)