Side 1 af 1

Koefficientbestemmelse ved logaritmisk udvikling

: 10 jan 2019, 08:58
af matcenter
Hej,

Jeg laver dette indlæg på vegne af brugeren, Hedda123, som har lidt vanskeligheder med at bruge vores forum. Betragt derfor ikke indlægget som værende lavet af admin. Følgende er et dokument som brugeren har sendt til Matematikcenter, hvor der er forslag til løsninger, dog ikke med bevis: https://drive.google.com/file/d/1nvRDSO_V1D2SKeApQTR-pKbUzkmUX9W_/view?usp=sharing.

Det drejer sig om fire udviklingsfunktioner: lineær(\(y=a\cdot x+b\)), eksponentiel(\(y=b\cdot a^x\)), potens(\(y=b\cdot x^a\)) og logaritmisk(\(y=a\cdot \ln(x)+b\)). Til de første tre findes der veldefinerede løsningsformler til bestemmelse af koefficienterne a og b, men hvad er løsningen når man vil bestemme de to koefficienter til den logaritmiske udvikling?

Re: Koefficientbestemmelse ved logaritmisk udvikling

: 10 jan 2019, 09:14
af number42
Hej, spørgsmålet er jo besvaret i det referede dokument ?

Forstår ikke rigtig hvad det ellers går ud på.

Alle varianterne følger samme strategi, nemlig at skifte variable så problemet bliver et lineært problem.

Re: Koefficientbestemmelse ved logaritmisk udvikling

: 10 jan 2019, 10:16
af matcenter
Som jeg forstod det, så drejer det sig primært om beviset for koefficientbestemmelse ved logaritmisk vækst.
Men tråden kan godt lukkes her, da løsningen jo netop er angivet i dokumentet.

Re: Koefficientbestemmelse ved logaritmisk udvikling

: 10 jan 2019, 12:58
af number42
Jeg kan jo lige prøve at gå de forskellige løsninger igennem her (havde lidt travlt i morges)

Det lineære eksempel:
Vi kender to punkter på linjen y = a x+b , dem sætter vi ind i ligningen \(y_1 = a x_1 +b\) og \(y_2 = a x_2 +b\)
så trækker vi de to ligninger fra hinanden for at eliminere b og får \(y_2-y_1 = a ( x_2-x_1)\) , hvoraf \(a = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\), b finder vi ved at indsætte den fundne værdi for a i en af de to ligninger.

eksponentiel:
\(y = b \cdot a^x\) , da vi kender løsningen til det lineære tilfælde så omdanner vi udtrykket ved at tage logaritmen på begge sider af lighedstegnet, \(log(y) = log(b * a^x) = log(b) + x log(a)\) , nu erstatter vi log(y) med u altså u = log(y) og får u = log(b) + x log(a).
nu ligner det det lineære eksempel og vi finder \(log(a) = \frac{u_2-u_1}{ x_2-x_1 }\) så \(a = e^{\frac{u_2-u_1}{ x_2-x_1 }}\) og vi skal erstatte u-erne med log(y) for de to værdier af u.

Potens:
\(y = b \cdot x^{a}\) samme procedure som ovenfor log(y) = log(b) + a log(x) , vi erstatter log(y) med u og Log(x) med v og får
\(a = \frac{u_2-u_1}{v_2-v_1}\) hvor vi igen indsætter værdierne for u og v

Logaritmisk:
y = a log(x) +b samme procedure som før, erstat log(x) med v og få \(a = \frac{y_2-y_1}{v_2-v_1 }\) og naturligvis indsætter vi igen v = log(x) i formlen. Vi får så \(a = \frac{y_2-y_1}{log(x_2)-log(x_1) }\)

Re: Koefficientbestemmelse ved logaritmisk udvikling

: 16 jan 2019, 09:12
af matcenter
Mange tak for svaret.