Velkommen til Matematikcenter online forum
Opret dig som bruger og få gratis adgang til Danmarks eneste gratis matematikhjælp for alle.
Har du allerede en bruger? Log ind her.

areal af to overlappede cirkler

Randall
Indlæg: 1
Tilmeldt: 04 mar 2017, 07:39

areal af to overlappede cirkler

Indlægaf Randall » 04 mar 2017, 07:45

Hejsa... har fået en opgave hvor jeg skal finde arealet af to crkler der overlapper hinaden....er der en formel for det.... :) håer nogen kan hjælpe..
number42
Indlæg: 1058
Tilmeldt: 10 mar 2017, 12:11

Re: areal af to overlappede cirkler

Indlægaf number42 » 11 mar 2017, 23:16

Strategi:
Det areal du søger er summen af de to cirklers arealer minus det areal de overlapper.
Cirklers areal er\(\pi r^{2}\)
Det areal der skæres af (cirkel afsnittet) for hver cirkel er arealet af cirkel udsnittet (lagkage stykket) minus arealet af den trekant (begrænset af fælles korden og to radier) der ikke er del af det der skæres af:

Cirkel udsnit areal: \(\pi r^{2} \frac{2 v}{2 \pi}= v r^{2}\); hvor v er den halve vinkel af vinkeludsnittet ( når v = Pi så er udsnittet hele cirklen, v er i radianer)
Trekants areal: \(r^{2} Cos(v) Sin(v)= r^{2} \frac{Sin(2 v)}{2}\) .

Arealet af et Cirkelafsnit er altså \(v r^{2}- r^{2} Cos(v) Sin(v) = r^{2} ( v-\frac{Sin(2v)} {2})\)

Det er lettere at introducere afstanden D mellem de to centre og højden h på linien mellen centrene. Cirklernes radier er r og R og vinklerne er v og V. R er større end r. Dermed bliver summen af arealerne af de to cirkelafsnit :

\(v r^{2} + V R^{2} - h D\)

Det søgte areal er derfor

\(A = \pi (r^{2}+R^{2}) -(v r^{2} + V R^{2} - h D)\)

Der er to muligheder:
1) Hvis \(v \lt \frac{\pi}{2}\)
2) Hvis \(v \gt \frac{\pi}{2}\)

For den førte mulighed er D = r Cos(v)+R Cos(V) og for den anden er D = R Cos(V)- r Cos(v)

Det synes lidt kompliceret at udregne algebraiske udtryk for h og vinklerne ud fra kendskab til r,R og D men lige ud af landevejen at udregne tallene. Den trekant der dannes af r,R og D har vinklerne v,V og (180-v-V) og det er derfor muligt at udregne højden på D og vinklerne fx fra cosinus relationen:

\(Cos(v)= \frac{r^{2}+D^{2}-R^{2}}{2 r D}\) og

\(h = R* Sin(V)\)
number42
Indlæg: 1058
Tilmeldt: 10 mar 2017, 12:11

Re: areal af to overlappede cirkler

Indlægaf number42 » 02 maj 2017, 11:50

\(2^3\)

Tilbage til "Hjernevridere"

Hvem er online

Brugere der læser dette forum: Ingen og 1 gæst