Velkommen til Matematikcenter online forum
Opret dig som bruger og få gratis adgang til Danmarks eneste gratis matematikhjælp for alle.
Har du allerede en bruger? Log ind her.

absolut kontinuert stokastisk variabler

Miss123
Indlæg: 2
Tilmeldt: 06 apr 2017, 11:48

absolut kontinuert stokastisk variabler

Indlægaf Miss123 » 06 apr 2017, 11:52

Hej.
Jeg tvivler stærkt på hvordan jeg i opgave 2) skal finde den betingede fordeling (XY│Y=y).


Jeg har vedhæftet et billed af opgavebeskrivelsen.
Vedhæftede filer
Skærmbillede 2017-04-06 kl. 10.52.23.png
Opgave 2
Skærmbillede 2017-04-06 kl. 10.52.23.png (53.79 KiB) Vist 939 gange
number42
Indlæg: 880
Tilmeldt: 10 mar 2017, 12:11

Re: absolut kontinuert stokastisk variabler

Indlægaf number42 » 16 apr 2017, 15:08

for at tage den helt forfra:
\(f_Y(y) = \int^{\infty}_{0} y e^{-y*(x+1)} dx = e^{-y}\)
Hvoraf følger Y~e(1)

\(f_X(x) = \int^{\infty}_{0} e^{-y*(x+1)} dy = \frac{1}{(x+1)^{2}}\)

Den betingede fordeling X|Y=y er:

\(f_{X|Y} (x,y) = \frac{ f(x,y)}{f_{Y}(y)}= \frac{y e^{-y*(x+1)}}{e^{-y}}=y e^{-y x}\)

XY fordelingen er \(f_{X}(x)*f_{Y}(y) = \frac{e^{-y}}{(x+1)^2}\)



XY|Y=y er \(\frac{f_ {X}(x)*f_{Y}(y)}{\int^{\infty}_{0} f_ {X}(x)*f_{Y}(y) dx }= \frac{1}{(x+1)^2}\)

Fordelingen XY|Y=y er så \(\frac{e^{-y}\frac{1}{(x+1)^2}}{\frac{1}{(x+1)^2}}= e^{-y}\)

Fordelingen XY|Y ~e(1)
XY og Y er ikke afhængige idet XY,Y ikke kan opdeles i et produkt af to funktioner som er udregnet som marginal funktioner

(Integrate[1/(1 + x)^2 Exp[-y] Exp[-y], {x, 0, \[Infinity]}] = e^(-2y) )
HenningTh
Indlæg: 7
Tilmeldt: 17 mar 2017, 08:18

Re: absolut kontinuert stokastisk variabler

Indlægaf HenningTh » 16 apr 2017, 21:12

Mht. tæthedsfunktionen for \(XY\), så tror jeg ikke at den kan beregnes med \(f_X(x)f_Y(y)\), da \(X\) og \(Y\) ikke er uafhængige.

I stedet kan man bruge at hvis \(U=XY\), så er tæthedsfunktionen for \(U\) givet ved ( se s. 109 i Probability and Random Processes 3rd ed. af Grimmet og Stirzaker):

\(f_U(u) = \int_{-\infty}^\infty f_{X,Y}(x,u / x)\vert x\vert^{-1} dx\).

Hvis man så bruger, at \(x > 0\) får man

\(f_U(u) = \int_{0}^\infty \frac{u}{x^2} e^{-\frac{u}{x}(x+1)} dx = e^{-u}\),

dvs. \(U = XY \sim e(1)\).

Jeg ved ikke helt, hvordan man skal vise at \(U\) og \(Y\) er uafhængige, måske ved at vise at \(f_{U,Y}(u,y) =
f_U(u)f_Y(y)\) (hvor man definerer \(f_{U,Y}(u,y)\) ved et passende variabelskift.)
number42
Indlæg: 880
Tilmeldt: 10 mar 2017, 12:11

Re: absolut kontinuert stokastisk variabler

Indlægaf number42 » 17 apr 2017, 20:42

Du har ret.

Mht det sidste spørgsmål

\(f_{U} (u) * f_{y} = e^{-u} e^{-y} = f_{U,Y}(u,y)\)

eftervis det ved integration af \(\int^{\infty}_{0} f_{U,Y}(u,y) du\) og \(\int^{\infty}_{0} f_{U,Y}(u,y) dy\)

Derfor er Z=XY og Y uafhængige
Senest rettet af number42 18 apr 2017, 08:30, rettet i alt 1 gang.
number42
Indlæg: 880
Tilmeldt: 10 mar 2017, 12:11

Re: absolut kontinuert stokastisk variabler

Indlægaf number42 » 18 apr 2017, 08:29

.

Tilbage til "Fra gymnasial uddannelse til universitet"

Hvem er online

Brugere der læser dette forum: Ingen og 1 gæst