Velkommen til Matematikcenter online forum
Opret dig som bruger og få gratis adgang til Danmarks eneste gratis matematikhjælp for alle.
Har du allerede en bruger? Log ind her.
Opret dig som bruger og få gratis adgang til Danmarks eneste gratis matematikhjælp for alle.
Har du allerede en bruger? Log ind her.
Plangeometri 2
-
- Indlæg: 28
- Tilmeldt: 10 maj 2019, 09:33
Plangeometri 2
Se vedhæftet billede
- Vedhæftede filer
-
- Skærmbillede 2019-05-13 kl. 15.35.58.png (29.37 KiB) Vist 2263 gange
Re: Plangeometri 2
Linjen l skærer y aksen i punktet \((0,h_1)\) hvor \(b \cdot h_1 = -c\) , du sætter x=0 og løser ligningen for y
Forskyd linjen l til den går gennem \(P(x_0,y_0)\) ligningen for den forskudte linje er \((x-x_0,y-y_0) \cdot (a,b) =0\)
Altså \(ax+by -(ax_0+by_0)=0\), den linje skærer y aksen i punktet \((0,h_2)\) hvor \(b \cdot h_2 = ax_0+by_0\)
Afstanden mellem de to skæringspunkter kan findes ved at trække de to h ligninger fra hinanden
\(b \cdot \Delta h = | ax_0+by_0+c|\). Det, altså \(\Delta h\) , er den lodrette afstand mellem linjerne, men vi skal finde afstanden i normalvektorens retning så vi finder enhedsvektoren i den retning nemlig \((a,b)/ \sqrt{ a^2 +b^2}\)
Vi projecterer nu vektoren \((0, \Delta h)\) på den enhedsvektor for at få den søgte afstand
\((0, \Delta h) \cdot (a,b)/ \sqrt{ a^2+b^2} = b \Delta h / \sqrt{ a^2+b^2}\). Og vi indsætter udtrykket for \(b \Delta h\) og får afstanden til
\(\frac{ | ax_0+by_0+c| }{\sqrt{ a^2+b^2}}\)
Hermed er det søgte bevist
Forskyd linjen l til den går gennem \(P(x_0,y_0)\) ligningen for den forskudte linje er \((x-x_0,y-y_0) \cdot (a,b) =0\)
Altså \(ax+by -(ax_0+by_0)=0\), den linje skærer y aksen i punktet \((0,h_2)\) hvor \(b \cdot h_2 = ax_0+by_0\)
Afstanden mellem de to skæringspunkter kan findes ved at trække de to h ligninger fra hinanden
\(b \cdot \Delta h = | ax_0+by_0+c|\). Det, altså \(\Delta h\) , er den lodrette afstand mellem linjerne, men vi skal finde afstanden i normalvektorens retning så vi finder enhedsvektoren i den retning nemlig \((a,b)/ \sqrt{ a^2 +b^2}\)
Vi projecterer nu vektoren \((0, \Delta h)\) på den enhedsvektor for at få den søgte afstand
\((0, \Delta h) \cdot (a,b)/ \sqrt{ a^2+b^2} = b \Delta h / \sqrt{ a^2+b^2}\). Og vi indsætter udtrykket for \(b \Delta h\) og får afstanden til
\(\frac{ | ax_0+by_0+c| }{\sqrt{ a^2+b^2}}\)
Hermed er det søgte bevist