Velkommen til Matematikcenter online forum
Opret dig som bruger og få gratis adgang til Danmarks eneste gratis matematikhjælp for alle.
Har du allerede en bruger? Log ind her.

Plangeometri 2

Besvar
UP Aalborg
Indlæg: 28
Tilmeldt: 10 maj 2019, 09:33

Plangeometri 2

Indlæg af UP Aalborg »

Se vedhæftet billede
Vedhæftede filer
Skærmbillede 2019-05-13 kl. 15.35.58.png
Skærmbillede 2019-05-13 kl. 15.35.58.png (29.37 KiB) Vist 2263 gange
number42
Indlæg: 1389
Tilmeldt: 10 mar 2017, 12:11

Re: Plangeometri 2

Indlæg af number42 »

Linjen l skærer y aksen i punktet \((0,h_1)\) hvor \(b \cdot h_1 = -c\) , du sætter x=0 og løser ligningen for y

Forskyd linjen l til den går gennem \(P(x_0,y_0)\) ligningen for den forskudte linje er \((x-x_0,y-y_0) \cdot (a,b) =0\)

Altså \(ax+by -(ax_0+by_0)=0\), den linje skærer y aksen i punktet \((0,h_2)\) hvor \(b \cdot h_2 = ax_0+by_0\)

Afstanden mellem de to skæringspunkter kan findes ved at trække de to h ligninger fra hinanden

\(b \cdot \Delta h = | ax_0+by_0+c|\). Det, altså \(\Delta h\) , er den lodrette afstand mellem linjerne, men vi skal finde afstanden i normalvektorens retning så vi finder enhedsvektoren i den retning nemlig \((a,b)/ \sqrt{ a^2 +b^2}\)

Vi projecterer nu vektoren \((0, \Delta h)\) på den enhedsvektor for at få den søgte afstand

\((0, \Delta h) \cdot (a,b)/ \sqrt{ a^2+b^2} = b \Delta h / \sqrt{ a^2+b^2}\). Og vi indsætter udtrykket for \(b \Delta h\) og får afstanden til
\(\frac{ | ax_0+by_0+c| }{\sqrt{ a^2+b^2}}\)

Hermed er det søgte bevist
Besvar