Differentialregning 2

[UP Aalborg]

Se vedhæftet billede

[number42]

Du bruger definitionen, for en funktion f(x) :

Læg et stykke h til x og find \(lim \frac{f(x+h}{h}\) hvor h går imod nul

Anvend det på dine funktioner

[UP Aalborg]

Kan du uddybe? :)

[number42]

\(lim \sqrt{x+h} /h\) når h går imod nul så går kvadratroden mod ???

[number42]

Ok:

\((\sqrt{x+h}- \sqrt{x})/h = (\sqrt{x} \sqrt{1+h/x}-\sqrt{x})/h =\) kvadratroden af 1+ et lille tal som h/x er ca (1+ 1/2 h/x) så vi får

\((\sqrt{x} (1+1/2 \cdot h/x)-\sqrt{x}) /h = \sqrt{x} ( 1/2 \cdot 1/x) = \sqrt{x} ( \frac{1}{2 x }) = 1/(2 \sqrt{x})\) når h går imod nul

[UP Aalborg]

Kan du gøre det på en mere "børnevenlig" måde? Jeg har rigtig svært ved det her nemlig :)

[number42]

Er vi enige om at vi skal beregne \(\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\) ?

Her er f(x) = \(\sqrt{x}\)

\(\sqrt{x+h} = \sqrt{x(1+h/x) } = \sqrt{x} \sqrt{ (1+h/x) }\) for small h ( relative to x) er \(\sqrt{(1+h/x) }\) næsten lig med 1+h/(2x) jo mindre h er jo mere nøjagtigt er det så vi kan sige at når h går mod nul så er det mere og mere nøjagtigt.