Cirklens tangent

[Jess123]

En cirkel har centrum i punktet C(4,2) og radius 3.
a) Opskriv en ligning for cirklen.

Ligningen for cirklen bliver

(x-4)^2+(y-2)^2=9
En ret linje l er givet på formen y=k·x, hvor k>0.
b) Bestem værdien af k, så l er en tangent til cirklen.

Hvad gør jeg

[ringstedLC]

Brug distanceformlen fra Formelsamlingen og at:

\(l: y=kx\Updownarrow\;,\;k>0 \\
-kx+y=0 \\

dist._{\;l,\; C}= \frac{ |-k\cdot C_x+C_y |}{\sqrt{(-k)^2+1^2}} = r\)
Den løses så med CAS. Da cirklen ligger i både 1. og 2. kvadrant, er det vigtigt at huske på, at k > 0.

[Jess123]

Hvad er begrundelsen for, at man anvender distanceformlen?

[ringstedLC]

l tangerer cirklen, det vil sige, at den korteste distance fra C til l præcis er radius r.
Ofte kender man linjens ligning og skal beregne distancen til et eller andet punkt, - derfor navnet.
Men den kan også bruges den "anden" vej, når distancen er kendt.

Tip: Indstil din CAS til eksakte værdier, så får du k uden decimaler.

[Jess123]

Hvorfor har du sat 1 ind i distanceformlen?

[Jess123]

er normalvektoren (k, 1) ?

[number42]

Et vilkårligt punkt på linjen er (x,y) som også er en vektor i linjens retning.

En normal vektor kan vi kalde (a,b) og for at få linjens ligning skal skalar produktet af (x,y) og (a,b) være nul altså a x+b y =0

I vort tilfælde fik vi en ligning -k x+y =0 det svarer til en normalvektor som er (-k,1) . , Man kan også ændre fortegnet så (k,-1) er også en normal vektir.

[ringstedLC]

Brug distanceformlen fra Formelsamlingen og at:
\(l: y=kx\Updownarrow\;,\;k>0 \\
-kx+y=0 \\

dist._{\;l,\; C}= \frac{ |-k\cdot C_x+C_y |}{\sqrt{(-k)^2+1^2}} = r\)
Den løses så med CAS. Da cirklen ligger i både 1. og 2. kvadrant, er det vigtigt at huske på, at k > 0.

\(l: y=kx\Updownarrow\;,\;k>0 \\
-kx+y=0\Updownarrow \\
kx-y=0 \\
dist._{\;l,\; C}= \frac{ |k\cdot C_x-C_y |}{\sqrt{k^2+(-1)^2}} = r\)

Nævnerne er længderne af normalvektorerne som er lige lange.

\(\sqrt{(-k)^2+1^2}=\sqrt{k^2+(-1)^2} \\
\sqrt{k^2+1}=\sqrt{k^2+1} \\\)
Tællerne skulle også gerne være lig hinanden:

\(\;\;\:|-k\cdot C_x+C_y|=|k\cdot C_x-C_y| \\
|-(k\cdot C_x-C_y)|=|k\cdot C_x-C_y| \\
\;\;\;\;\;\;\;|k\cdot C_x-C_y |=|k\cdot C_x-C_y |\)