Velkommen til Matematikcenter online forum
Opret dig som bruger og få gratis adgang til Danmarks eneste gratis matematikhjælp for alle.
Har du allerede en bruger? Log ind her.

andengradsligninger

ringstedLC
Indlæg: 624
Tilmeldt: 22 okt 2017, 18:05

Re: andengradsligninger

Indlæg af ringstedLC »

Jess123 skrev:Skæringspunkterne bliver altså -30 og 30?
En rod, en løsning eller et nulpunkt kan være -30. Et skæringspunkt har to koordinater (x, y), derfor er dine (-30, 0) og (30, 0).
Jess123 skrev:Er der en nemmere måde at beregne og forklare det på? Jeg har nemlig aldrig set det blive beregnet på den måde
Det tænkte jeg nok, den er fra "Særligt for HTX" på webmatematik.dk, men det bliver nok ikke meget nemmere.

Du kan opstille to ligninger med to ubekendte udfra den "almindelige" toppunktsformel.
Så skal parablen flyttes, så symmetriaksen ligger i x = 30 og du får c = 0.

\(f(x)=ax^2+bx+c\;,\;(T_x,\;T_y)=(\frac{60}{2},\;45)\;,\;c=f(r_1)=f(r_2)=0 \\
T_y=45=\frac{-d}{4a}=\frac{-(b^2-4ac)}{4a}\Rightarrow 45=\frac{-b^2}{4a}\Rightarrow a=-\frac{1}{180}b^2 \\
T_x=30=\frac{-b}{2a}\Rightarrow 30=\frac{-b}{2a}\Leftrightarrow b=-60\cdot \left(-\frac{1}{180}b^2\right)\Leftrightarrow b=\frac{1}{3}b^2\Leftrightarrow
3b=b^2\Leftrightarrow b=3 \\
a=-\frac{1}{180}\cdot 3^2=-\frac{9}{180}=-0.05\Downarrow \\
f(x)=-0.05x^2+3x\)


Eller ved differentiering:
\(f(x)=ax^2+bx+c\;,\;T_x=\frac{60}{2}\;,\;c=f(r_1)=0 \\
f'(x)=2ax+b \\
f'(30)=0=2a\cdot 30+b\Leftrightarrow b=-60a \\
T_y=45=\frac{-d}{4a}\Leftrightarrow 45=\frac{-((-60a)^2)}{4a}\Updownarrow \\
3600a^2+180a=0\Updownarrow \\
20a^2+a=0\Updownarrow \\
a=\frac{-1\pm \sqrt{1^2-4\cdot 20\cdot 0}}{2\cdot 20}=\frac{-1\pm 1}{40}\Updownarrow \\
a=\frac{-2}{40}=-0.05\vee a=\frac{0}{40}=0 \text{ forkastes da }a\neq0 \\
b=-60a=-60\cdot (-0.05)=3\Downarrow \\
f(x)=-0.05x^2+3x\)
Jess123
Indlæg: 166
Tilmeldt: 27 okt 2018, 14:07

Re: andengradsligninger

Indlæg af Jess123 »

Kan man forklare det på denne måde?

På modellen ses det, at parablens toppunkt er det højeste punkt på facaden og derfor ligger skæringspunkter med x-aksen symmetrisk omkring y-aksen. Derfor har vi: c=T_y=45 og b=0

En andengradsligning er kendetegnet ved f(x)=ax^2+bx+c

Jeg isolerer a i ovenstående ligning og indsætter værdierne

f_a=(f(x_0 )-T_y)/(x_0^2 )=60/2=30

f_a=(0-45)/30^2 =-0,05
Forskriften for f bliver f(x)=-0,05x^2+45

Jeg sætter andengradsligningen lig 0 og løser ligningen for x vha. CAS-værktøjet Wordmat

0=-0,05x^2+45
x=-30 ∨ x=30
Koordinatsættet til hvert af parablens skæringspunkter med koordinatakserne bliver (-30, 0) og (30, 0).
Jess123
Indlæg: 166
Tilmeldt: 27 okt 2018, 14:07

Re: andengradsligninger

Indlæg af Jess123 »

ringstedLC skrev:
Jess123 skrev:Skæringspunkterne bliver altså -30 og 30?
En rod, en løsning eller et nulpunkt kan være -30. Et skæringspunkt har to koordinater (x, y), derfor er dine (-30, 0) og (30, 0).
Jess123 skrev:Er der en nemmere måde at beregne og forklare det på? Jeg har nemlig aldrig set det blive beregnet på den måde
Det tænkte jeg nok, den er fra "Særligt for HTX" på webmatematik.dk, men det bliver nok ikke meget nemmere.

Du kan opstille to ligninger med to ubekendte udfra den "almindelige" toppunktsformel.
Så skal parablen flyttes, så symmetriaksen ligger i x = 30 og du får c = 0.

\(f(x)=ax^2+bx+c\;,\;(T_x,\;T_y)=(\frac{60}{2},\;45)\;,\;c=f(r_1)=f(r_2)=0 \\
T_y=45=\frac{-d}{4a}=\frac{-(b^2-4ac)}{4a}\Rightarrow 45=\frac{-b^2}{4a}\Rightarrow a=-\frac{1}{180}b^2 \\
T_x=30=\frac{-b}{2a}\Rightarrow 30=\frac{-b}{2a}\Leftrightarrow b=-60\cdot \left(-\frac{1}{180}b^2\right)\Leftrightarrow b=\frac{1}{3}b^2\Leftrightarrow
3b=b^2\Leftrightarrow b=3 \\
a=-\frac{1}{180}\cdot 3^2=-\frac{9}{180}=-0.05\Downarrow \\
f(x)=-0.05x^2+3x\)


Eller ved differentiering:
\(f(x)=ax^2+bx+c\;,\;T_x=\frac{60}{2}\;,\;c=f(r_1)=0 \\
f'(x)=2ax+b \\
f'(30)=0=2a\cdot 30+b\Leftrightarrow b=-60a \\
T_y=45=\frac{-d}{4a}\Leftrightarrow 45=\frac{-((-60a)^2)}{4a}\Updownarrow \\
3600a^2+180a=0\Updownarrow \\
20a^2+a=0\Updownarrow \\
a=\frac{-1\pm \sqrt{1^2-4\cdot 20\cdot 0}}{2\cdot 20}=\frac{-1\pm 1}{40}\Updownarrow \\
a=\frac{-2}{40}=-0.05\vee a=\frac{0}{40}=0 \text{ forkastes da }a\neq0 \\
b=-60a=-60\cdot (-0.05)=3\Downarrow \\
f(x)=-0.05x^2+3x\)
Hvordan opstiller man de to ligninger du har opstillet, men hvor du blot bruger CAS-værktøj og derfor undlader at vise mellemregninger?
Jess123
Indlæg: 166
Tilmeldt: 27 okt 2018, 14:07

Re: andengradsligninger

Indlæg af Jess123 »

er forskriften f(x) = -0,05x + 3x eller f(x) = -0,05x + 45
ringstedLC
Indlæg: 624
Tilmeldt: 22 okt 2017, 18:05

Re: andengradsligninger

Indlæg af ringstedLC »

Jess123 skrev:er forskriften f(x) = -0,05x + 3x eller f(x) = -0,05x + 45
Det ved jeg ikke, men en af dem passer med den figur som jeg tidligere har efterlyst.
Jeg har skrevet forudsætningerne for de to forskellige funktioner, så du må selv afgøre, hvordan de passer med figuren..
Jess123 skrev:Hvordan opstiller man de to ligninger du har opstillet, men hvor du blot bruger CAS-værktøj og derfor undlader at vise mellemregninger?
- Det kan du gøre som vist.
- Hvis det ikke er mellemregninger, så ved jeg ikke, hvad mellemregninger er.
Og ja, jeg har brugt CAS, men kun til at kontrollere mit svar, - så det kan du da ikke se.
Besvar