Webmatematik - Forum

hvad er det nu det betyder når h'(x) ikke kan give nul

Du skal kunne differentiere. Som du vel ved skal du finde h'(x) , hvis h'(x) er positive så er funktionen h(x) stigende, for samme x værdi selvfølgelig, og omvendt.

Så du skal vide hvordan man differentiere en brøk. skriver vi skriver h(x) som en tæller og en nævner således h(x) = T(x)/N(x) så bliver \(h'(x) = (T'(x)*N(x) - T(x)*N'(x))/ N(x)^2\) se
https://www.webmatematik.dk/lektioner/m ... kvotienter

Og så skal du simplificere det udtryk så det bliver meget pænt.

Men det er ikke en rigtig god ide som du vil opdage, så for at du ikke skal føle dig snydt så kan jeg fortælle at der er en bedre måde at løse det problem. Kan du finde den?

Kan jo se at h’(x) ikke kan gå op hvis lig nul men bliver i tvivl om hvad jeg skal gør eller skrive i min opgave

Ikke helt exakt udtrykt. Men funktionen har flere mærkværdigheder.

Prøv at sætte 3 udenfor en parametre i tælleren og x udenfor en psrantes i nævneren. Hvad sker der så?

Altså så der står 3/x og 1/x eller

Ja -3/x men ikke helt, det forudsætter at x≠1 for ellers er nævneren nul og det må man ikke dividere med. Hvad gør vi så med x=1.

Vi kan nu bruge Hospitals regel. For at finde hvad for en værdi vi kan indsætte for h(1) Det vil sige du finder T'(x) og N'(x) for x->1 antag at det giver h`(x)= c og så sætter du h(1)=c ( altså h(x) går imod c for x gående mod 1)

Det kan du så gøre, det skal bruges for opgave b)

Rettet pga typografiske fejl (LaTeX)

Hvis du ikke kender L'Hospitals regel kan du i dette tilfælde også argumentere at h(x) går imod -3/x for x gående mod 1. Det er direkte indlysende.

Det er mere et spørgsmål om hvad du føler dig mest fortrolig med.

For alle andre værdier af x er h(x) = -3/x . Du kan nu differentiere dette og finde h'(x).

Det her synes at være gået i stå så hermed:

\(h(x) = \frac{3x-3}{x-x^2} = \frac{-3}{x}*\frac{1-x}{1-x}\) Den sidste brøk kan man i princip ikke regne ud for x=1 idet man ikke må dividere med nul. I midlertid er det klart at den brøk konvergerer mod 1 når x går imod 1. Det skyldes at resultatet af divisionen er 1 for alle værdier af x.
( bemærk at CAS programmer altid af samme årsag dividere ens udtryk ud uden at gøre nogen bemærkning)
Vi finder derfor at h(x) kan sættest til \(h(x) = \frac{-3}{x}\) for alle værdier af x. (x må ikke være nul ). De to funktions udtryk er ens på nær et enkelt punkt OG der en ingen spring i funktionen i det problematiske punkt.

\(h'(x) = \frac{3}{x^2}\) og altid positiv.

resten af opgaven der formodentligt let at løse.