Velkommen til Matematikcenter online forum
Opret dig som bruger og få gratis adgang til Danmarks eneste gratis matematikhjælp for alle.
Har du allerede en bruger? Log ind her.

differentialregning og funktionsanalyse af polynomier

styx23
Indlæg: 8
Tilmeldt: 21 okt 2020, 23:43

differentialregning og funktionsanalyse af polynomier

Indlægaf styx23 » 21 okt 2020, 23:47

.
Senest rettet af styx23 26 okt 2020, 08:47, rettet i alt 3 gange.
JensSkakN
Indlæg: 605
Tilmeldt: 17 mar 2020, 12:33

Re: differentialregning og funktionsanalyse af polynomier

Indlægaf JensSkakN » 22 okt 2020, 02:12

Hvis du virkelig 'er stået helt af ' får du nok ikke meget ud af at se min løsning. Men jeg tror ikke rigtig på det.
Nu får du min løsning, men jeg foretrækker klart, at du viser, hvad du forstår og hvor du har problemer. Så bliver den hjælp, vi kan give dig, meget mere effektiv.
\(f'(\,x)\,=0\,\,\) differentiation af konstant
\(g'(\,x)\,=3\,\,\) diff. af potensf.+differensregel
\(h'(\,x)\,=6x-5\,\,\) diff. af potensf.+differensregel+sumregel
\(i'(\,x)\,=15x^2-2x+5\,\,\) samme

\(f(\,x)\,=3x^2+4x-2 \implies f'(\,x)\,=6x+4\)
\(f(\,1)\,=3+4-2=5\)
\(f'(\,1)\,=6+4=10\)
Tangentens ligning \(y=5+10\cdot{(\,x-1)\,}=10x-5\)
Den generelle formel for tangentens ligning, når tangenten rører kurven i \(x_0\)
\(y=f(\,x_0)\,+f'(\,x_0)\, \cdot {(\,x-x_0)\,}\). Denne metode er anvendt - om din lærer har givet den et spoecielt navn, ved jeg ikke.

Funktionsundersøgelse
\(f(\,x)\,=x^3-3x^2-9x\)
1. Dm = \(\mathbb{R}\)
Definitionsmængden vælges altid så bred som mulig. Her er der intet, der forbyder at medtage alle reelle tal.
2. \(f(\,x)\,=x\cdot{(\,x^2-3x-9)\,}\)
\(f(\,x)\,=0 \Leftrightarrow x=0 \,\vee x=\frac{3\pm \sqrt{9+4\cdot 9}}{2}=\frac{3\pm3\sqrt 5}{2}\)
\(f\) har 3 nulpunkter \(\frac {3-3\sqrt 5}{2},\,0,\,\frac {3+3\sqrt 5}{2}\)

3. Fortegnsundersøgelse
For en kontinuert funktion, kan der ikke ske fortegnsskift mellem nulpunkternef
\(f(\,-3)\,=-27-3\cdot 9-9\cdot {(\,-3)\,}=-27\)
\(f(\,-1)\,=-1-3+9=5\)
\(f(\,1)\,=1-3-9=-11\)
\(f(\,5)\,=125-75-45=5\)

\(f\) er negativ i \(]-\infty;\frac{3-3\sqrt 5}{2}[\) og i \(]0;\frac{3+3\sqrt 5}{2}[\)
\(f\) er positiv i \(]\frac{3-3\sqrt 5}{2};0[\) og i \(]\frac{3+3\sqrt 5}{2};\infty[\)

4. Monotoniforhold
\(f'(\,x)\,=3x^2-6x-9=3 \cdot{(\,x^2-2x-3)\,}=3 \cdot {(\,x-3)\,(\,x+1)\,}\)

Jeg stopper her nu - hvis du forstår og kan bruge det, så skriv og så fortsætter jeg nok i morgen
Ud fra fortegnsundersøgelsen for \(f'(\,x)\,\) finder man, at'
f er voksende i \(]-\infty;-1]\) og i \([3;\infty[\)
f er aftagende i \([-1;3]\)
styx23
Indlæg: 8
Tilmeldt: 21 okt 2020, 23:43

Re: differentialregning og funktionsanalyse af polynomier

Indlægaf styx23 » 22 okt 2020, 08:24

.
Senest rettet af styx23 26 okt 2020, 08:46, rettet i alt 1 gang.
JensSkakN
Indlæg: 605
Tilmeldt: 17 mar 2020, 12:33

Re: differentialregning og funktionsanalyse af polynomier

Indlægaf JensSkakN » 22 okt 2020, 10:10

Ekstrema
\(f(\,-1)\,=-1-3+9=5\)
\(f(\,3)\,=27-3\cdot 9-9\cdot 3=-27\)
Det fremgår af montoniundersøgelsen, at der er lokalt maksimum i \((\,-1,5)\,\) samt lokalt minimum i \((\,3,-27)\,\).
Værdimængde
Da \(f(\,x)\,\to -\infty\) for \(x\to -\infty\) og da \(f(\,x)\,\to \infty\) for \(x\to \infty\)
er Vm \(=\mathbb{R}\).
Dette gælder for alle polynomier af ulige grad.
styx23
Indlæg: 8
Tilmeldt: 21 okt 2020, 23:43

Re: differentialregning og funktionsanalyse af polynomier

Indlægaf styx23 » 22 okt 2020, 11:06

Tusinde tak for hjælpen :-)

Jeg sætter stor pris på det.
styx23
Indlæg: 8
Tilmeldt: 21 okt 2020, 23:43

Re: differentialregning og funktionsanalyse af polynomier

Indlægaf styx23 » 22 okt 2020, 11:35

Jeg var lige ved at kigge alle punkterne igennem og det ser fint ud.

Men hvor er punkt 2. Nulpunkter henne ?

Har jeg overset noget i udregningen..
JensSkakN
Indlæg: 605
Tilmeldt: 17 mar 2020, 12:33

Re: differentialregning og funktionsanalyse af polynomier

Indlægaf JensSkakN » 22 okt 2020, 12:10

Ja, du må, have overset dette

Det står lige efter punkt 1. med definitionsmængden.
Jeg har fundet de 3 nulpunkter.
styx23
Indlæg: 8
Tilmeldt: 21 okt 2020, 23:43

Re: differentialregning og funktionsanalyse af polynomier

Indlægaf styx23 » 22 okt 2020, 12:13

aah selvfølgelig ja jeg kan godt se det nu :-)

Tilbage til "Matematik B"

Hvem er online

Brugere der læser dette forum: Ingen og 6 gæster