Velkommen til Matematikcenter online forum
Opret dig som bruger og få gratis adgang til Danmarks eneste gratis matematikhjælp for alle.
Har du allerede en bruger? Log ind her.
Opret dig som bruger og få gratis adgang til Danmarks eneste gratis matematikhjælp for alle.
Har du allerede en bruger? Log ind her.
Cylinderformet flaske med kegle hoved
-
- Indlæg: 3
- Tilmeldt: 07 okt 2019, 12:54
Cylinderformet flaske med kegle hoved
Jeg sidder med en opgave som lyder:
En flaske skal produceres med et elegant flaske design. Den ny flaske skal indeholde 0,7 liter og flasken nederste del skal være cylinderformet med cirkulær bund. Den øverste del skal være formet som en kegle. Der skal ikke tages hensyn til, at den øverste spids af keglen senere omformes til en åbning, som øllen kan hældes ud af.
Find det mindste materialeforbrug ved produktionen af denne flaske.
Jeg ved at der skal gøres brug af differentialregning og jeg ved også godt hvordan det gøres, når man blot har en cylinder med en kendt volumen. Hvordan forholder man sig, når man også skal se på kegletoppen?
En flaske skal produceres med et elegant flaske design. Den ny flaske skal indeholde 0,7 liter og flasken nederste del skal være cylinderformet med cirkulær bund. Den øverste del skal være formet som en kegle. Der skal ikke tages hensyn til, at den øverste spids af keglen senere omformes til en åbning, som øllen kan hældes ud af.
Find det mindste materialeforbrug ved produktionen af denne flaske.
Jeg ved at der skal gøres brug af differentialregning og jeg ved også godt hvordan det gøres, når man blot har en cylinder med en kendt volumen. Hvordan forholder man sig, når man også skal se på kegletoppen?
Re: Cylinderformet flaske med kegle hoved
Volumen af cylindre er \(h_c *G\) og volumen af en kegle er \(h_k/3 * G\) hvor G er arealet af bunden på cylindren.
Du har tre parametre , højde af cylinder, højde af kegle og radius af bunden.
Du skal så have materiale forbruget og antager at materialet er lige tykt over det hele så overfladen er nok at minimere. Det er bunden G og cylinderens højde gange omkreds plus keglens overflade .
Keglen kan foldes ud så den bliver et cirkeludsnit med radius \(R= \sqrt{ h_k^2 + r^2 }\) hvor r er radius af cylindrens bund. Du kan regne arealet ud idet hele cirklen med radius R har arealet \(2 \pi R^2\) og den del som er den udfoldede kegle er r/R. Gange så meget.
Ok?
Du har tre parametre , højde af cylinder, højde af kegle og radius af bunden.
Du skal så have materiale forbruget og antager at materialet er lige tykt over det hele så overfladen er nok at minimere. Det er bunden G og cylinderens højde gange omkreds plus keglens overflade .
Keglen kan foldes ud så den bliver et cirkeludsnit med radius \(R= \sqrt{ h_k^2 + r^2 }\) hvor r er radius af cylindrens bund. Du kan regne arealet ud idet hele cirklen med radius R har arealet \(2 \pi R^2\) og den del som er den udfoldede kegle er r/R. Gange så meget.
Ok?
Re: Cylinderformet flaske med kegle hoved
For lige at opsummere ( jeg havde egentlig ventet at du kom tilbage)
Her er løsningen: hk = 0,5404. hc = 0,7287 r = 0,5035
Her er løsningen: hk = 0,5404. hc = 0,7287 r = 0,5035
-
- Indlæg: 3
- Tilmeldt: 07 okt 2019, 12:54
Re: Cylinderformet flaske med kegle hoved
Tak for dit svar! :)
Jeg er ikke helt med på, hvordan du tænker... Jeg kender udregningerne af begge volumener, men hvis jeg sætter dem sammen i en ligning, vil jeg få en med 3 ubekendte.. Det kan jo ikke udregnes ? :)
Hvorfor er det nødvændigt at finde cirkeludsnittet? Og hvordan gøres der brug af differentialregning..?
Jeg er ikke helt med på, hvordan du tænker... Jeg kender udregningerne af begge volumener, men hvis jeg sætter dem sammen i en ligning, vil jeg få en med 3 ubekendte.. Det kan jo ikke udregnes ? :)
Hvorfor er det nødvændigt at finde cirkeludsnittet? Og hvordan gøres der brug af differentialregning..?
Re: Cylinderformet flaske med kegle hoved
Ja, det er netop sagen.
Først elemineres en af parametrene fx hk (kegle højden) ved at isolere hk i volumen ligningen og i overflade ligningen.
Så sættes de to udtryk for hk lig hinanden og man har en ligning som kan løses for overfladen O. Man har dermed fået et udtryk for O som indeholder det givne volumen og de to andre parametre r og hc
Men så begynder problemerne. Teoretisk kan man godt finde et minimum for et udtryk med to variable men det ser ud til at blive meget rodet at løse analytisk selv med en god CAS. Jeg har derfor ikke forsøgt det.
Nu har jeg en CAS som kan løse problemet numerisk og det gjorde jeg så med det viste resultat. Det er meget sandsynligt at der findes flere CAS som kan.
Min funktion hedder FindMinimum det hedder den nok også i andre , kan ikke finde den i Geogebra.
Man kan også løse det ved at gætte på et sæt værdier og forsøge sig frem men det er en masse arbejde
Først elemineres en af parametrene fx hk (kegle højden) ved at isolere hk i volumen ligningen og i overflade ligningen.
Så sættes de to udtryk for hk lig hinanden og man har en ligning som kan løses for overfladen O. Man har dermed fået et udtryk for O som indeholder det givne volumen og de to andre parametre r og hc
Men så begynder problemerne. Teoretisk kan man godt finde et minimum for et udtryk med to variable men det ser ud til at blive meget rodet at løse analytisk selv med en god CAS. Jeg har derfor ikke forsøgt det.
Nu har jeg en CAS som kan løse problemet numerisk og det gjorde jeg så med det viste resultat. Det er meget sandsynligt at der findes flere CAS som kan.
Min funktion hedder FindMinimum det hedder den nok også i andre , kan ikke finde den i Geogebra.
Man kan også løse det ved at gætte på et sæt værdier og forsøge sig frem men det er en masse arbejde
Re: Cylinderformet flaske med kegle hoved
Det var lidt forilet ikke at prøve en analytisk løsning så her kommer den:
Det O udttrykt som funktion af r og hc som differentieres. D betyder differentiation, Til min overraskelse er der to løsninger.
Det O udttrykt som funktion af r og hc som differentieres. D betyder differentiation, Til min overraskelse er der to løsninger.
- Vedhæftede filer
-
- Analytisk.JPG (71.71 KiB) Vist 5658 gange
Re: Cylinderformet flaske med kegle hoved
Du skal huske at prøve hvilken af de to løsninger som giver det bedste resultat.
Re: Cylinderformet flaske med kegle hoved
Her er så hele løsningen
- Vedhæftede filer
-
- analyt 2.JPG (100.27 KiB) Vist 5651 gange
-
- Indlæg: 3
- Tilmeldt: 07 okt 2019, 12:54
Re: Cylinderformet flaske med kegle hoved
Når jeg nu ser udregning, kan jeg sagens følge dig!
Tusinde tak for din hjælp, number42! :)
Tusinde tak for din hjælp, number42! :)