Velkommen til Matematikcenter online forum
Opret dig som bruger og få gratis adgang til Danmarks eneste gratis matematikhjælp for alle.
Har du allerede en bruger? Log ind her.

Funktioner af to variable - grafens forløb

AnnaK941
Indlæg: 7
Tilmeldt: 03 maj 2019, 13:36

Funktioner af to variable - grafens forløb

Indlægaf AnnaK941 » 04 maj 2019, 14:37

Hej!
Når man skal finde ud af, hvordan man med differentialregning kan undersøge grafens forløb med udgangspunkt i en funktion af to variable: f(x,y).

Hvad er fremgangsmåden for dette? Og hvordan ville I bære jer ad, når I skal fremføre et eksempel på tavlen?

Jeg tænker, at det er noget med at finde de partielle og dobblte afledede, og dernæst de stationære punkter.
number42
Indlæg: 902
Tilmeldt: 10 mar 2017, 12:11

Re: Funktioner af to variable - grafens forløb

Indlægaf number42 » 04 maj 2019, 15:17

Det lyd der som en rigtig god plan.
AnnaK941
Indlæg: 7
Tilmeldt: 03 maj 2019, 13:36

Re: Funktioner af to variable - grafens forløb

Indlægaf AnnaK941 » 04 maj 2019, 15:32

Men er det egentlig nødvendigt både at undersøge de dobbelte og partielle afledede? Kan man ikke nøjes med én af dem?
number42
Indlæg: 902
Tilmeldt: 10 mar 2017, 12:11

Re: Funktioner af to variable - grafens forløb

Indlægaf number42 » 04 maj 2019, 18:55

Man kan vel bruge de dobbelt partielle afledede til at bestemme om et ekstremum er et maximun eller et minimum.

Er funktionen en hemmelighed?
AnnaK941
Indlæg: 7
Tilmeldt: 03 maj 2019, 13:36

Re: Funktioner af to variable - grafens forløb

Indlægaf AnnaK941 » 06 maj 2019, 09:24

Der er ikke nogen graf eller specifik funktion, men det kunne man jo indføre som et eksempel, tænker jeg. Det er en slags redegørelse, hvor jeg skal redegøre for hvordan man ved hjælp af differentialregning kan undersøge grafens forløb med udgangspunkt i en funktion af to variable: f(x,y).
number42
Indlæg: 902
Tilmeldt: 10 mar 2017, 12:11

Re: Funktioner af to variable - grafens forløb

Indlægaf number42 » 06 maj 2019, 14:00

Jeg kommer nok til at hjælpe dig lidt mere. Men jeg ved ikke rigtigt hvad du kan, så her er et forsøg:

Start med at finde de stationære punkter, det er et punkt hvor \(\frac{\partial f}{\partial x} =0 , \frac{\partial f}{\partial y} = 0\)

Først et meget simpelt eksempel hvor du ikke bruger de ovenstående afledede, (hav tålmodighed)

Du har en funktion af to variable f(x,y). Du skal finde
\(\frac{\partial f^2}{\partial x \partial x}\) \(\frac{\partial f^2}{\partial x \partial y}\)
\(\frac{\partial f^2}{\partial x \partial y}\) \(\frac{\partial f^2}{\partial y \partial y}\)

Det er en matrix (Hessian eller Hesse matrix, kalder den H ). Du skal nu finde egenværdierne af den matrix og
1 Hvis egenværdierne begge er positive så har funktionen et maximum
2 Hvis de begge er negative så har funktionen et minimum
3 Hvis den ene er positive og den anden er negativ så har den et saddelpunkt

for eks f(x,y) = x^2 + 2 x + y^2 + 3 y + 5 x*y
giver matricen {{2, 5}, {5, 2}} som har egenværdierne (7,-3) og funktionen har et saddelpunkt.

Hvis du ikke kan egenværdier finder du istedet:

1 det(H) >0 så har du et egentligt extremum (determinenten af ovenstående H er 2*2-5*5
2 Hvis spor (H) >0 så har du et minimum punkt (sporet at H er summen 2+2 i matricen ovenover)
3 Hvis spor(H) <0 så har du et maximum punkt.
4 Hvis det(H) <0 så har du et saddelpunkt
5 Hvis det(H)=0 så må du undersøge nærmere

Men så nemt er det ikke altid tag \(f(x,y) =x^2-x^2 \cdot y+2y^2\)

Den har en Hesse matrix som er {{2-2y, -2x},{ -2x,4}} Det vil sige, fordi matricen indeholder x og y kan du kun beregne matricen hvis du kender det relevante punkt, Det er så de stationære punkter du finder ved at differentiere en gang.

For de punkter beregner du H matricen og du beregner spor og determinant.

Håber det hjælper lidt
AnnaK941
Indlæg: 7
Tilmeldt: 03 maj 2019, 13:36

Re: Funktioner af to variable - grafens forløb

Indlægaf AnnaK941 » 11 maj 2019, 13:49

Tusind tak for hjælpen.

Men er det ok at gøre det på denne måde til den mundtlige eksamen(Mat A)? Altså bare fremføre resultaterne med let differentialregning?

f(x,y):=x^2-y^2

Dobbelt afledte = 2 og -2

Blandede afledte: 0

Så kan man bestemme arten af det stationære punkt:
r*t-s^2
Dvs:

2*(-2)-0^2= -4 <0 --> Altså er der tale om et saddelpunkt
number42
Indlæg: 902
Tilmeldt: 10 mar 2017, 12:11

Re: Funktioner af to variable - grafens forløb

Indlægaf number42 » 13 maj 2019, 22:18

Jeg har haft et problem med at logge ind på forum.webmatematik , årsagen er at service yderen blev ændret. Jeg kan stadig ikke logge ind med min PC og min tablet som nu af en eller anden kan logge på er ret irriterende til formålet.

Men bortset fra det

Du taber mig lidt med dine r,s,t men ellers er det da ok det du skriver. Det afhænger naturligvis helt af det niveau du arbejder på hvor avanceret dit eksempel skal være. Det kan jeg nok ikke hjælpe med ( jeg er ikke lærer ).

Tilbage til "Matematik A"

Hvem er online

Brugere der læser dette forum: Ingen og 1 gæst