Side 1 af 1

Bevis med vektorer

: 16 apr 2018, 00:22
af mille43332
Hej derude

Jeg har simpelhen kæmpet så meget med den her opgave, men jeg kan simpelhen ikke komme videre end ét trin - er der nogen der kan hjælpe?

Tak på forhånd!

Re: Bevis med vektorer

: 17 apr 2018, 08:59
af number42
Med hensyn til den sidste metode:
a = {a1,a2,a3): b = {b1,b2,b3}
\(a \times b = {-a3 b2 + a2 b3, a3 b1 - a1 b3, -a2 b1 + a1 b2}\)
\(|a \times b|^2 = a \times b.a \times b = (-a2 b1 + a1 b2)^2 + (a3 b1 - a1 b3)^2 + (-a3 b2 + a2 b3)^2\)

\(|a \times b|^2+ (a.b)^2- |a|^2*b^2 = (-a2 b1 + a1 b2)^2 + (a3 b1 - a1 b3)^2 + (-a3 b2 + a2 b3)^2 + (a1 b1 +
a2 b2 + a3 b3)^2 - (a1^2 + a2^2 + a3^2) (b1^2 + b2^2 + b3^2) =0\)

Re: Bevis med vektorer

: 17 apr 2018, 09:41
af number42
Det er nu bevist at \(|a \times b|^2 + (a.b)^2 = |a|^2*|b|^2\)
Desuden haves \((a.b)^2 = |a|^2*|b|^2 Cos^2(v) \Leftrightarrow \frac{(a.b)^2 }{|a|^2*|b|^2} = Cos^2(v)\)

Det indsættes i den første ligning og man får
\(\frac{ |a \times b|^2}{ |a|^2*|b|^2} +Cos(v)^2 =1 \Leftrightarrow |a \times b|^2 = |a|^2*|b|^2 Sin^2(x)\) hvor man så uddrager kvadratroden på begge sider af lighedstegnet. (forresten a og b er vektorer selv om jeg ikke har pile over dem)

Re: Bevis med vektorer

: 17 apr 2018, 10:08
af number42
For den første metode.

Forslag: Placer vektor a og b i x,y planet med a langs x aksen derved bliver a = {a1,0,0} og b = {b1,b2,0} ligeledes b2 = |b| Sin(v)

Beregn nu krydsproduktet \(a \times b = ( a2b3-a3 b2, a3b1-a1b3, a1b2-a2 b1)\)

Indsæt koordinaterne for a og b: \(a \times b = (0-0*b2, 0*b1-0*a1, a1 *b2 - 0* b1) = (0,0,a1* b2)\)

Hvoraf \(|a \times b| = a1*b2 = |a| *|b| Sin(v)\)

Re: Bevis med vektorer

: 17 apr 2018, 21:55
af mille43332
Tusind tak for hjælpen!

Re: Bevis med vektorer

: 08 maj 2018, 10:34
af matcenter
Hej mille43332

Hold øje med Webmatematik, der kommer snart nyt indhold, som måske kan hjælpe i forhold til bevisførelse.

Mvh
Mads/Matematikcenter