Hej derude
Jeg har simpelhen kæmpet så meget med den her opgave, men jeg kan simpelhen ikke komme videre end ét trin - er der nogen der kan hjælpe?
Tak på forhånd!
Velkommen til Matematikcenter online forum
Opret dig som bruger og få gratis adgang til Danmarks eneste gratis matematikhjælp for alle.
Har du allerede en bruger? Log ind her.
Opret dig som bruger og få gratis adgang til Danmarks eneste gratis matematikhjælp for alle.
Har du allerede en bruger? Log ind her.
Bevis med vektorer
-
- Indlæg: 5
- Tilmeldt: 14 apr 2018, 19:20
Bevis med vektorer
- Vedhæftede filer
-
- Opgave 3.PNG (32.87 KiB) Vist 4952 gange
Re: Bevis med vektorer
Med hensyn til den sidste metode:
a = {a1,a2,a3): b = {b1,b2,b3}
\(a \times b = {-a3 b2 + a2 b3, a3 b1 - a1 b3, -a2 b1 + a1 b2}\)
\(|a \times b|^2 = a \times b.a \times b = (-a2 b1 + a1 b2)^2 + (a3 b1 - a1 b3)^2 + (-a3 b2 + a2 b3)^2\)
\(|a \times b|^2+ (a.b)^2- |a|^2*b^2 = (-a2 b1 + a1 b2)^2 + (a3 b1 - a1 b3)^2 + (-a3 b2 + a2 b3)^2 + (a1 b1 +
a2 b2 + a3 b3)^2 - (a1^2 + a2^2 + a3^2) (b1^2 + b2^2 + b3^2) =0\)
a = {a1,a2,a3): b = {b1,b2,b3}
\(a \times b = {-a3 b2 + a2 b3, a3 b1 - a1 b3, -a2 b1 + a1 b2}\)
\(|a \times b|^2 = a \times b.a \times b = (-a2 b1 + a1 b2)^2 + (a3 b1 - a1 b3)^2 + (-a3 b2 + a2 b3)^2\)
\(|a \times b|^2+ (a.b)^2- |a|^2*b^2 = (-a2 b1 + a1 b2)^2 + (a3 b1 - a1 b3)^2 + (-a3 b2 + a2 b3)^2 + (a1 b1 +
a2 b2 + a3 b3)^2 - (a1^2 + a2^2 + a3^2) (b1^2 + b2^2 + b3^2) =0\)
Re: Bevis med vektorer
Det er nu bevist at \(|a \times b|^2 + (a.b)^2 = |a|^2*|b|^2\)
Desuden haves \((a.b)^2 = |a|^2*|b|^2 Cos^2(v) \Leftrightarrow \frac{(a.b)^2 }{|a|^2*|b|^2} = Cos^2(v)\)
Det indsættes i den første ligning og man får
\(\frac{ |a \times b|^2}{ |a|^2*|b|^2} +Cos(v)^2 =1 \Leftrightarrow |a \times b|^2 = |a|^2*|b|^2 Sin^2(x)\) hvor man så uddrager kvadratroden på begge sider af lighedstegnet. (forresten a og b er vektorer selv om jeg ikke har pile over dem)
Desuden haves \((a.b)^2 = |a|^2*|b|^2 Cos^2(v) \Leftrightarrow \frac{(a.b)^2 }{|a|^2*|b|^2} = Cos^2(v)\)
Det indsættes i den første ligning og man får
\(\frac{ |a \times b|^2}{ |a|^2*|b|^2} +Cos(v)^2 =1 \Leftrightarrow |a \times b|^2 = |a|^2*|b|^2 Sin^2(x)\) hvor man så uddrager kvadratroden på begge sider af lighedstegnet. (forresten a og b er vektorer selv om jeg ikke har pile over dem)
Re: Bevis med vektorer
For den første metode.
Forslag: Placer vektor a og b i x,y planet med a langs x aksen derved bliver a = {a1,0,0} og b = {b1,b2,0} ligeledes b2 = |b| Sin(v)
Beregn nu krydsproduktet \(a \times b = ( a2b3-a3 b2, a3b1-a1b3, a1b2-a2 b1)\)
Indsæt koordinaterne for a og b: \(a \times b = (0-0*b2, 0*b1-0*a1, a1 *b2 - 0* b1) = (0,0,a1* b2)\)
Hvoraf \(|a \times b| = a1*b2 = |a| *|b| Sin(v)\)
Forslag: Placer vektor a og b i x,y planet med a langs x aksen derved bliver a = {a1,0,0} og b = {b1,b2,0} ligeledes b2 = |b| Sin(v)
Beregn nu krydsproduktet \(a \times b = ( a2b3-a3 b2, a3b1-a1b3, a1b2-a2 b1)\)
Indsæt koordinaterne for a og b: \(a \times b = (0-0*b2, 0*b1-0*a1, a1 *b2 - 0* b1) = (0,0,a1* b2)\)
Hvoraf \(|a \times b| = a1*b2 = |a| *|b| Sin(v)\)
-
- Indlæg: 5
- Tilmeldt: 14 apr 2018, 19:20
Re: Bevis med vektorer
Tusind tak for hjælpen!
Re: Bevis med vektorer
Hej mille43332
Hold øje med Webmatematik, der kommer snart nyt indhold, som måske kan hjælpe i forhold til bevisførelse.
Mvh
Mads/Matematikcenter
Hold øje med Webmatematik, der kommer snart nyt indhold, som måske kan hjælpe i forhold til bevisførelse.
Mvh
Mads/Matematikcenter