Hej, jeg har fået flg. opgave men er i tvivl om hvordan jeg skal løse den med de givne informationer:
Bestem en løsning f(x) til
dy/dx-4y=10
Hvor vi kender punktet P
P = (0;0.5)
Jeg har før løst differentialeligninger, men ikke hvor y' er opstillet på denne måde. Er der nogle der kan hjælpe mig igang?
Velkommen til Matematikcenter online forum
Opret dig som bruger og få gratis adgang til Danmarks eneste gratis matematikhjælp for alle.
Har du allerede en bruger? Log ind her.
Opret dig som bruger og få gratis adgang til Danmarks eneste gratis matematikhjælp for alle.
Har du allerede en bruger? Log ind her.
Hjælp til opgave om differentialeligninger
Re: Hjælp til opgave om differentialeligninger
dy/dx betyder y'
Det er nemt at gætte en løsning fordi alle diff ligninger som indeholder y' og y på den måde skal have \(y = e^{nx}\) fordi y' og y skal gå ud mod hinanden.
Den homogene ligning er y'=4 y som åbenlyst har løsningen \(y = C e^{4x}\) hvor C er integrations konstanten.
Nu lægger vi noget til løsningen så\(y = C e^{4x} +a\) det giver \(y' = 4 C e^{4x}\) så vi får \(y'-4y = 4 C e^{4x} -4 ( C e^{4x}+a) = 10\) hvoraf \(a = -10/4 =-5/2\)
Derfor \(y = C e^{4x}- 5/2\) da du kender punktet P(0;0,5) så skal \(0,5 = C e^{4 *0} -5/2\) hvoraf C findes.
Det er at betragte som en af standard ligningerne se http://www.webmatematik.dk/lektioner/ma ... lligninger
Ellers: \(y' -4y =0 \Leftrightarrow y' = 4y \Leftrightarrow \frac{y'}{y} =4 \Leftrightarrow \frac{dy}{y} = 4 dx\)
Det integreres på begge sider af lighedstegnet så \(ln(y) = 4x +C1\) hvoraf \(y = C e^{4x}\)
Hvis du ikke kan lide bare at gætte af man bare adderer a til den homogene løsning så prøv at differentiere din ligning en gang til og løse trin for trin
Det er nemt at gætte en løsning fordi alle diff ligninger som indeholder y' og y på den måde skal have \(y = e^{nx}\) fordi y' og y skal gå ud mod hinanden.
Den homogene ligning er y'=4 y som åbenlyst har løsningen \(y = C e^{4x}\) hvor C er integrations konstanten.
Nu lægger vi noget til løsningen så\(y = C e^{4x} +a\) det giver \(y' = 4 C e^{4x}\) så vi får \(y'-4y = 4 C e^{4x} -4 ( C e^{4x}+a) = 10\) hvoraf \(a = -10/4 =-5/2\)
Derfor \(y = C e^{4x}- 5/2\) da du kender punktet P(0;0,5) så skal \(0,5 = C e^{4 *0} -5/2\) hvoraf C findes.
Det er at betragte som en af standard ligningerne se http://www.webmatematik.dk/lektioner/ma ... lligninger
Ellers: \(y' -4y =0 \Leftrightarrow y' = 4y \Leftrightarrow \frac{y'}{y} =4 \Leftrightarrow \frac{dy}{y} = 4 dx\)
Det integreres på begge sider af lighedstegnet så \(ln(y) = 4x +C1\) hvoraf \(y = C e^{4x}\)
Hvis du ikke kan lide bare at gætte af man bare adderer a til den homogene løsning så prøv at differentiere din ligning en gang til og løse trin for trin