Jeg sidder med en opgave hvor jeg skal finde løsningen til differentialligningen u'=2.5+2sin(2πt)-0.2u
med begyndelsesbetingelsen u(0)=0.
Eksemplet er en sø hvor man måler et bestemt stof S, hvor søens indhold til at begynde med er 0. Vandet i tilløbet til søen indeholder stoffet og udviser en sæsonvariation med en periode på 1 år. Tilløbet til søen af stof S pr. år svarer til 2.5+2sin(2πt), målt i mg pr. m^3. Tiden t er målt i år. Indeholdet af stof S i tilløbet varier mellem 0.5 mg pr. m^3 og 4.5 mg pr. m^3.
Samtidig er der et fraløb pr. år fra søen på 20% af den mængde af stoffet S, der findes i søen. Ud fra dette vil der for indholdet u (målt i mg/m^3) af stoffet S gælde differentialligningen u'=2.5+2sin(2πt)-0.2u
Jeg skal bestemme forskriften for løsningen og kommentere de forskellige led i forskriften
Umiddelbart ville jeg mene at diff.ligningen er følgende: y'=b-ay, og så ville løsningen være y=b/a+c·e^(-a·t)
men når jeg indsætter tallene i løsningen, giver det ingen mening.
Jeg ved at svaret bliver u=0,318*sin(2πy-1,539)-12,182e^(-0,2t)+12,5, men jeg kan sket ikke se hvordan man er kommet frem til det.
Velkommen til Matematikcenter online forum
Opret dig som bruger og få gratis adgang til Danmarks eneste gratis matematikhjælp for alle.
Har du allerede en bruger? Log ind her.
Opret dig som bruger og få gratis adgang til Danmarks eneste gratis matematikhjælp for alle.
Har du allerede en bruger? Log ind her.
Differentialligninger med varierende parametre
-
- Indlæg: 1
- Tilmeldt: 06 nov 2017, 17:30
-
- Indlæg: 624
- Tilmeldt: 22 okt 2017, 18:05
Re: Differentialligninger med varierende parametre
Umiddelbart kan jeg ikke se, hvordan du kan få din løsning, da b vel ikke er en konstant (indeholder jo t).
Men prøv at se her;
https://books.google.dk/books?id=TedaiV ... et&f=false
Skriv lige om du selv har klaret dig igennem, ellers kigger jeg på den en af de nærmeste dage.
Men prøv at se her;
https://books.google.dk/books?id=TedaiV ... et&f=false
Skriv lige om du selv har klaret dig igennem, ellers kigger jeg på den en af de nærmeste dage.
Re: Differentialligninger med varierende parametre
Det er en standard differential ligning som har løsningen
\(u(t) = e^{-0,2 t} C1 + 2 ( 6,25-0,158994 \cos( 2 \pi t) + 0,00506093 \sin( 2 \pi t) )\)
\(u(t) = e^{-0,2 t} C1 + 2 ( 6,25-0,158994 \cos( 2 \pi t) + 0,00506093 \sin( 2 \pi t) )\)
Re: Differentialligninger med varierende parametre
Jeg løste ligningen med min CAS men det kan måske være interesant hvordan man løser den manuelt
Standard ligningen er u' + P(t) u = Q(t) som i vores tilfælde bliver \(u' + 0,2 u = 2,5 + 2 \sin( 2\pi t)\)
Vi skal nu finde en funktion som vi kan gange med ligningen således at venstre side bliver til et differentieret produkt
her \(e^{0,2 t}\) altså \(e^{0,2 t} u' + 0,2 e^{0,2 t} u = e^{0,2 t} ( 2,5 + 2 \sin( 2\pi t))\)
Venstre siden omskrives til \(\frac{ d(e^{0,2 t} u)}{dt} = e^{0,2 t} u' + 0,2 e^{0,2 t} u\) og vi integrerer på begge sider af ligningen:
\(\int { d(e^{0,2 t} u) } = \int { e^{0,2 t} ( 2,5 + 2 \sin( 2\pi t) dt }\) som bliver til
\(e^{0,2 t} u = \int { e^{0,2 t} ( 2,5 + 2 \sin( 2\pi t) dt } +C_1\) eller
\(u = e^{-0,2 t} \int { e^{0,2 t} ( 2,5 + 2 \sin( 2\pi t) dt } + C_1 e^{-0,2 t}\)
Integralet \(\int e^{0,2 t} \sin(2 \pi t) dt\) løses ved partiel integrering
Standard ligningen er u' + P(t) u = Q(t) som i vores tilfælde bliver \(u' + 0,2 u = 2,5 + 2 \sin( 2\pi t)\)
Vi skal nu finde en funktion som vi kan gange med ligningen således at venstre side bliver til et differentieret produkt
her \(e^{0,2 t}\) altså \(e^{0,2 t} u' + 0,2 e^{0,2 t} u = e^{0,2 t} ( 2,5 + 2 \sin( 2\pi t))\)
Venstre siden omskrives til \(\frac{ d(e^{0,2 t} u)}{dt} = e^{0,2 t} u' + 0,2 e^{0,2 t} u\) og vi integrerer på begge sider af ligningen:
\(\int { d(e^{0,2 t} u) } = \int { e^{0,2 t} ( 2,5 + 2 \sin( 2\pi t) dt }\) som bliver til
\(e^{0,2 t} u = \int { e^{0,2 t} ( 2,5 + 2 \sin( 2\pi t) dt } +C_1\) eller
\(u = e^{-0,2 t} \int { e^{0,2 t} ( 2,5 + 2 \sin( 2\pi t) dt } + C_1 e^{-0,2 t}\)
Integralet \(\int e^{0,2 t} \sin(2 \pi t) dt\) løses ved partiel integrering
Senest rettet af number42 08 nov 2017, 17:19, rettet i alt 1 gang.
Re: Differentialligninger med varierende parametre
Hvis man kan lide en mere klassisk version:
u'+ p(t) u = q(t)
Man løser først den homogene ligning \(u_h'+p(t) u_h =0\) som løses til \(u_h = C_1 e^{- \int{p(t) dt}}\)
Derefter den inhomogene ligning \(u_p = u_h \int{\frac{q(t)}{u_h} dt }\)
den fulde løsning er så \(u = u_h+u_p\)
u'+ p(t) u = q(t)
Man løser først den homogene ligning \(u_h'+p(t) u_h =0\) som løses til \(u_h = C_1 e^{- \int{p(t) dt}}\)
Derefter den inhomogene ligning \(u_p = u_h \int{\frac{q(t)}{u_h} dt }\)
den fulde løsning er så \(u = u_h+u_p\)