Side 1 af 1

Funktioner og differentialregning

: 02 aug 2020, 12:27
af dani9963
Hej Webmatematik

Jeg har en opgave, som jeg ikke ved hvordan jeg skal gå til.

En funktion f er bestemt ved
f(x)=2x + 1 + k*sin(x)

hvor k er en konstant.

Bestem k, så f er voksende.

Jeg ville i første omgang finde f'(x) og sætte den lig 0 for at bestemme funktionen for løsninger, hvor tangenthældningen er lig 0
f'(x)=0
0=2 + k*cos(x)

Så isolere x
x=Pi - arccos(2/k)

For at bestemme k, så f er voksende, skal jeg så nu indsætte min nye x i f'(x) og bestemme k? Det har jeg prøvet, men så får jeg løsningen k = k... Løsningen er vel bestemmelsen af monotoniforholdene for værdien af k.

Re: Funktioner og differentialregning

: 02 aug 2020, 14:46
af ringstedLC
Se funktionens graf som en ret linje med en overlejret sinuskurve.
Selve den rette linje er voksende, så "hele" grafen vil kun være aftagende,
når sinuskurven er mere aftagende end den rette linje.
Når funktionen er voksende, må der gælde:

\(f'(x)=2+k\, \cos(x)\geq 0\)

Brug så din viden om min./maks. af cosinus til at opstille og løse de to uligheder:

\(2+k\cdot \cos_{\,maks.}\geq 0 \wedge 2+k\cdot \cos_{\,min.}\geq 0\Rightarrow k \in \left \{... \right \}\)

Re: Funktioner og differentialregning

: 02 aug 2020, 17:20
af dani9963
Tak for svar. Jeg kom frem til løsningen, men jeg synes ikke det giver mening at løse for cos[min], og det passer heller ikke med det jeg ser, når jeg plotter den fundne k-værdi i mit CAS-program (her plotter jeg cos[maks]).

Den mindste værdi cosinus kan antage er Pi, som er lig -1, og som det kan ses nederst i billedet må k ikke være mindre end 2. Men alle værdier k antager over -2 vil give funktionen en positiv hældning.

Re: Funktioner og differentialregning

: 02 aug 2020, 19:24
af ringstedLC
dani9963 skrev:... og det passer heller ikke med det jeg ser, når jeg plotter den fundne k-værdi i mit CAS-program

- Ved diff.-k./hældning er det "farligt" at flytte sit nulniveau.
- Ved plot af uligheder kan du sjældent konkludere noget udfra én værdi.
- Trig.-funktioner uden interval bør ihvertfald undersøges i [0;2pi].

dani9963 skrev:Den mindste værdi cosinus kan antage er Pi, som er lig -1...

Nej, men:

\(\cos(\pi)=-1\Rightarrow k\leq 2\)

mens:

\(\cos_{\,min.}(x)=-1\neq \pi\)

dani9963 skrev:... og som det kan ses nederst i billedet må k ikke være mindre end 2.

Nej, k skal være mindre end eller lig med 2. Disse to betingelser sammenfattes så til ét interval/en mængde.

\(-2\leq k\leq 2\)

Prøv at se det for dig; sinus ganges med k som er amplituden.
Derved forstærkes udsvinget og dermed hældningen.
Og hvis hældningen af den aftagende del af kurven bliver mindre (mere negativ) end den rette linjes,
så vokser funktionen ikke.

Lav en skyder for k og se hvad der sker, når den ændres.

Re: Funktioner og differentialregning

: 02 aug 2020, 20:21
af dani9963
Jeg lavede en slider i mit CAS-program og kan nu se at du har fuldstændig ret. Jeg forstår ikke hvad du mener med cos(Pi)=-1 og cos(x)=-1 (ulig) Pi. Tak for din hjælp.

Re: Funktioner og differentialregning

: 02 aug 2020, 20:58
af ringstedLC
dani9963 skrev:Jeg forstår ikke hvad du mener med cos(Pi)=-1 og cos(x)=-1 (ulig) Pi.


Det tror jeg nu nok, at du gør. Kig på den igen om noget tid; så skal du bare se.
Hvis du så stadig ikke forstår det, skal du læse op på definitionerne af de trigonometriske funktioner
eller vende tilbage.

Re: Funktioner og differentialregning

: 02 aug 2020, 23:41
af JensSkakN
Jeg håber, at det ikke forvirrer, at jeg blander mig. Du skriver tidligere: den mindste værdi cosinus kan antage er pi, som er lig minus 1. Begge dele er forkerte. Funktionen cosinus antager altid værdier mellem -1 og 1. Den antager derfor aldrig værdien pi, som er et tal lidt større end 3,14. Pi er derfor ikke lig -1. Men funktionen cosinus antager værdien -1 når x er lig pi. Man kan også formulere det, at argumentet er lig pi. Derfor gælder cos(pi)=-1.